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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mo 17.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hi ihr,
ich habe Mal wieder eine Aufgabe. Sie ist wirklich ziemlich leicht. Eigentlich zu leicht und deshalb wollte ich Mal nachfragen, ob ich bei meinen Rechnungen irgendetwas übersehen habe ....
Also: Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie alle nichttrivialen Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems über den reellen Zahlenbereich:
s + t - u =0
2s + +2u - v=0
13s- t + u+ v=0
-3s+ t +2u-2v=0
Tja, aber mithilfe des Austauschverfahren und auch mit dem Gaußschen Algorithmus komme ich jeweils auf das gleiche Ergebnis: s=t=u=v=0. Das allerdings ist ja aber eine triviale Lösung. Nun habe ich auch Mal wieder mit meinem alten Gefährten ... den Grafiktaschenrechner ... dieses LGS nachgerechnet und auch damit komme ich auf ein und das selbe Ergebnis. Überseh ich irgendein kleines Detail?? Oder anders: Es gibt ja nur eine triviale Lösung des Gleichungssystems. Da ich ja aber die nichttrivialen Lösungen angeben soll, ist es dann nicht lösbar oder gibt es einfach keine nichttrivialen Lösungen???
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Halli hallo!
Ich habe ein etwas anderes Ergebnis raus:
Undzwar:
[mm] \vmat{1 & 1 & -1 & 0\\2 & 0 & 2 & -1\\13 & -1 & 1 & 1\\-3 & 1 & 2 & -2}
[/mm]
Jetzt die erste 2 mal von der zweiten, 13 mal von der dritten und -3 mal von der letzten Gleichung abziehen ergibt:
[mm] \vmat{1 & 1 & -1 & 0\\0 & -2 & 4 & -1\\0 & -14 & 14 & 1\\0 & 4 & -1 & -2}
[/mm]
jetzt die zweite 7 mal von der dritten und -2 mal von der letzten abziehen ergibt:
[mm] \vmat{1 & 1 & -1 & 0\\0 & -2 & 4 & -1\\0 & 0 & -14 & 8\\0 & 0 & 7 & -4}
[/mm]
jetzt noch die hälfte der dritten von der letzten abziehen ergibt:
[mm] \vmat{1 & 1 & -1 & 0\\0 & -2 & 4 & -1\\0 & 0 & -14 & 8\\0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Es bleibt also eine frei wählbare variable!
Damit erhälst du unendlich viele nichttriviale Lösungen!
Also vielleicht hast du dich irgendwo verguggt.....(oder ich mich  )
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 17.01.2005 | | Autor: | maria |
Mit dem Gaußschen Algorithmus kommt bei mir auch Null raus. Wo liegt hier der Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mo 17.01.2005 | | Autor: | maria |
och männe. wie krieg ichn die frage wieder gelöscht. es hat sich nämlich schon erledigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 18.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hey Maria,
wie hat sich denn deine Frage geklärt?? Ich habe ja auch Null raus. Und was ist daran falsch???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Di 18.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo SusPie6
ich habe das Ganze nachgerechnet.
Es gibt tatsächlich unendlich viele Lösungen. Diese Tatsache allein festzustellen, reicht aber nicht aus. Es wird ja nach der Menge der Lösungen gefragt.
Und die lautet:
[mm] $s=\alpha$
[/mm]
[mm] $t=-9\alpha$
[/mm]
[mm] $u=-8\alpha$
[/mm]
[mm] $v=-14\alpha$
[/mm]
Wobei für [mm] $\alpha$ [/mm] jede beliebige Zahl ausser der Null genommen werden kann (sonst wäre es ja die Triviallösung).
Das kann vielleicht auch etwa so dargestellt werden:
[mm] $(s,t,u,v)=\alpha*(1,-9,-8,-14); \alpha \not [/mm] = 0$
Oder wie es euer Lehrer auch immer haben will. 
Wenn du wissen willst, wie man drauf kommt, dann frage einfach nach!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Di 18.01.2005 | | Autor: | maria |
Ja, wie kommt man drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
also: es hat sich bei mir am Schluss folgendes Gleichungssystem ergeben:
$14s+v=0_$
$14t-9v=0_$
$7t-4v=0_$
Jetzt kannst du einfach das $v_$ als gegeben annehmen und nach den anderen Variablen auflösen.
Das gibt dann:
$s = [mm] -\bruch{v}{14}$
[/mm]
$t = [mm] \bruch{9v}{14}$
[/mm]
$u = [mm] \bruch{4v}{7}$
[/mm]
Als Koordinatenvektor geschrieben:
[mm] $(s,t,u,v)=(-\bruch{v}{14},\bruch{9v}{14},\bruch{4v}{7},v)=\bruch{v}{14}*(-1,9,8,14)$
[/mm]
Ersetzt du noch [mm] $\bruch{v}{14}$ [/mm] durch [mm] $\alpha$, [/mm] dann hast du genau meine Lösung.
Mit lieben Grüssen
Paul
Wenn du
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 18.01.2005 | | Autor: | mel_t84 |
Hallo,
es ist schon verwunderlich, wie oft man sich doch immer wieder verrechnen kann. ich hoffe mal, dass ich jetzt richtig liege, wenn ich sage, dass es doch unendlich viele lösungen gibt.
das element, was als letztes element pivotelement sein müsste, ist eine null, somit ist der letzte austauschschritt nicht möglich. deshalb gibt es doch unendlich viele lösungen.
ich habe diese aufgabe jetzt schon ganz schön oft gerechnet und hoffe, dass das jetzt wirklich stimmt.
Melanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 18.01.2005 | | Autor: | maria |
Hallo SusPie,
also ich hatte das mit dem Gaußschen Algorithmus gelöst. Meine letzte Gleichung war 0=0. Das heißt natürlich, dass es unendlich viele Lösungen gibt und nicht dass die Lösung null ist. ich war gestern zu blöd dafür und hab voreilig die Frage gestellt. Du kannst ja mal hier deine Lösung vorstellen und wenn es Fehler gibt, können wir dich korrigieren oder hattest du denselben Denkfehler wie ich??
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