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Hallo an alle Mathegenies!! =)
Habe heute in der Schule eine Aufgabe bekommen, bei der ich nicht so wirklich weiß wie ich an die "Sache" rangehen soll...
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gesucht ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion, die eine Extremstelle bei X =5,7 und Y =2,2 hat. Außerdem soll die Funktion eine Nullstelle bei x = 4,3 haben.
1. Zeichnen Sie zunächst eine grobe Skizze der Anforderungen,
2. entscheiden Sie, welchen Grades die Funktion sein soll,
3. stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf und lösen sie es,
4. und prüfen Sie abschließend Ihr Ergebnis durch eine Proberechnung.
Meine Ansätze:
zu 1.) Dort würde ich nun versuchen einen Graphen der Funktion zu zeichnen. Und zwar mit den Punkten P(5,7/2,2) und mit dem Achsenschnittpunkt x = 4,3.
zu 2.) Da hab ich leider gar keine Ahnung wie ich dieses Problem angehen könnte... Hat das vielleicht was mit der Skizze für den Graphen zu tun?? =)
zu 3.) Da ist mein Problem das Gleichungssystem überhaupt zu erstellen.. Ich glaube aber, dass das irgendwas mit der Nullstelle zu tun hat, oder?? Muss man da vielleicht Ableitungen erstellen oder aus der Extremstelle? Das Lösen des Gleichungsystems ist dann kein Problem mehr..
zu 4.) Da würde ich dann einfach x-Werte in die entstandene Gleichung einsetzen und nachschauen, ob die Funktion die Extremwerte und Nullstellen aufweist wie in der Aufgabenstellung.
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!!
Viele Grüße DarkAngel14584 =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 23.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
zu1): das stimmt so
zu 2): ich gehe mal davon aus, dass die Funktion GENAU eine Extremstelle haben soll, sonst wird's schwierig 
Funktionen welchen Grades haben denn genau eine Extremstelle? Stelle diese Funktion allgemein auf, d.h. mit allgemeinen Koeffizienten a, b,...
zu 3):
Du hast ja die Voraussetzungen
f(5,7) = 2,2
f'(5,7) = 0 weil bei 5,7 die Extremstelle liegt
f''(5,7) [mm] \not= [/mm] 0 gleicher Grund
f(4,3) = 0 weil bei 4,3 die Nullstelle liegt
Diese Bedingungen setzt Du jetzt in Deine allgemeine Funktion ein und erhältst daraus ein LGS.
Zu 4):
Hier würdest Du die Nullstelle(n) und die Extremstellen Deiner gefundenen Funktion berechnen und gucken, ob diese mit den anfangs angegebenen übereinstimmen.
Schöne Grüße,
djmatey
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Danke erstmal...
Also, da die Funktion nur eine Extremstelle hat, kann es sich nur um eine quadratische Funktion handeln...
Die Formel lautet also: f(x)= ax²+bx+c
da der Graph aber nach unten geöffnet ist, müsste sie lauten:
f(x)= -ax²+bx+c RICHTIG??
Aber müsste f ''(x), dann nicht < 0 sein, da dort dann ja ein Maximum vorliegt??
Bekomme ich dann ein Gleichungssystem mit 3 oder 4 Gleichungen??
Das f ''(5,7) [mm] \not= [/mm] 0 bereitet mit ein wenig Schwierigkeiten...
Danke!!
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Hallo!
> Die Formel lautet also: f(x)= ax²+bx+c
> da der Graph aber nach unten geöffnet ist, müsste sie
> lauten:
>
> f(x)= -ax²+bx+c RICHTIG??
Ja, aber da du ja mit der Vorraussetzung rechnest, dass es ein Hochpunkt (und kein Tiefpunkt) ist, müsstest du ansonsten (wenn du bei [mm] ax^2+bx+c [/mm] bleibst) einfach ein negatives a herausbekommen.
> Aber müsste f ''(x), dann nicht < 0 sein, da dort dann ja
> ein Maximum vorliegt??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") exakt!
> Bekomme ich dann ein Gleichungssystem mit 3 oder 4
> Gleichungen??
Mmh, da du ja nur drei Unbekannte hast (a, b und c) reichen dir für einen eindeutige Lösung ja drei Gleichungen. Die vierte Gleichung wäre eben die, dass f''(x)<0 sein muss. Allerdings ist das ja nicht wirklich eine Gleichung, sondern eher eine Ungleichung. Und diese hilft dir bei einem Gleichungssystem wohl kaum weiter.
Ich würde diese Ungleichung einfach als kleine Kontrolle sehen: Wenn du a berechnet hast, dann setze deinen Wert doch mal in die zweite Ableitung ein und schaue, ob dann auch ein Wert <0 rauskommt. Wenn nicht, dann hast du wohl irgendetwas falsch gemacht.
> Das f ''(5,7) [mm]\not=[/mm] 0 bereitet mit ein wenig
> Schwierigkeiten...
Ist das jetzt klar? Ich hätte von Anfang an geschrieben, dass f''(5,7)<0 sein soll. Aber wie gesagt dürfte es für das Gleichungssystem selber nichts zu bedeuten haben, da du diese "Gleichung" dafür gar nicht brauchst.
Kommst du jetzt klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Also, wenn ich die Zahlen jetzt in die Gleichungen einsetze bekomme ich folgendes Gleichungssystem:
I. 32,49a+5,7b+c=2,2
II. 18,49a+4,3b+c=0
III. 11,4 a+b=0 ODER??
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so, ich habe jetzt für
a=-1,12244898...
b=12,79591837...
c=-34,26836735... raus!!
Um meine Ergebnisse zu prüfen, berechne ich die Nullstelle und den Extrempunkt...
Wie mache ich das?? Wenn ich die Gleichung = 0 setze bekomme ich dieses hier heraus:
0 = x²-11,4x+30,53
0 = 1,375 [mm] \pm \wurzel [/mm] (0,1375)² - 30,53
ist das richitg oder mache ich da was falsch?
so komme ich ja nicht auf die vorgegebene nullstelle...
und wie berechne ich dann den extrempunkt??
DANKE!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 23.08.2005 | | Autor: | Disap |
Hi.
> so, ich habe jetzt für
>
> a=-1,12244898...
> b=12,79591837...
> c=-34,26836735... raus!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Um meine Ergebnisse zu prüfen, berechne ich die Nullstelle
> und den Extrempunkt...
> Wie mache ich das?? Wenn ich die Gleichung = 0 setze
> bekomme ich dieses hier heraus:
>
> 0 = x²-11,4x+30,53
> 0 = 1,375 [mm]\pm \wurzel[/mm] (0,1375)² - 30,53
> ist das richitg oder mache ich da was falsch?
Naw, das ist leider falsch. Denn das ist nicht die PQ-Formel.
Nach der PQ-Formel lautet es:
0 = [mm] \bruch{11,4}{2} \pm \wurzel{(\bruch{11,4}{2})^2-30,53}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=...
[/mm]
Als Alternative wäre es bei den Nullstellen sicherlich akzeptabel, wenn du einfach x=4,3 in f(x) eingesetzt hättest. Kommt null heraus, so ist alles im grünen Bereich => heißt ja auch, dass eine Nullstelle vorhanden ist.
>
> so komme ich ja nicht auf die vorgegebene nullstelle...
Leider ein blöder Fehler bei der PQ-Formel: s.o.
>
> und wie berechne ich dann den extrempunkt??
Mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung.
f'(x) = 0
f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Ich denke, dass dir das bereits etwas sagt? Ähnlich hast du, um die Funktionsgleichung zu bestimmen, ja schon einmal die Gleichung für das Extrema aufstellt. Nämlich f'(5,7)=0.
>
> DANKE!!
Liebe Grüße Disap
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Und welche Zahl setze ich dann für x in f'(x) ein?? Meine 4,3 von der Nullstelle oder welche Zahl??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 23.08.2005 | | Autor: | Disap |
> Und welche Zahl setze ich dann für x in f'(x) ein?? Meine
> 4,3 von der Nullstelle oder welche Zahl??
Oups, ein einfacheres und eleganteres Lösungsverfahren habe ich übersehen.
Es gibt eine Formel für Parabeln oder ganzrationale Funktionen zweiten Grades, und zwar:
[mm] x_{E} [/mm] = [mm] \bruch{x_{n1}+x_{n2}}{2}
[/mm]
Das bedeutet, dass das Extrema genau in der Mitte von den zwei Nullstellen der Parabel liegt.
Ist diese Formel dir geläufig? Du kannst also die Extremstelle mit dieser Formel ausrechnen.
Ansonsten bildest du die Ableitung der Funktion
f(x) => f'(x)
f(x) = [mm] -1,12x^2+12,8x-34,3
[/mm]
f'(x) = -2,24x + 12,8
f'(x) = 0
0 = - 2,24x + 12,8 | -12,8 | *(-1)
12,8 = 2,24x | : 2,24
[mm] x_{E} \approx [/mm] 5,7
Oder die Gegenprobe machen:
f'(5,7) = -2,24*5,7+12,8 [mm] \approx [/mm] 0
Und nun müsste, der vollständigkeitshalber, auf Extrempunkt prüfen. (Obwohl mir gerade kein Beispiel einfällt, wo bei einer Parabel f'(x) = 0 und dennoch kein Extrema vorhanden ist.)
f''(5,7) [mm] \not= [/mm] 0
Ausgerechnet ist dieser Ausdruck natürlich wahr. Woraus folgt, dass ein Extrema, sogar ob Hochpunkt oder Tiefpunkt, vorhanden ist.
Grüße Disap
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