Lineare Hülle/Summe von UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich hab folgende Aufgabe die ich glaube gelöst zu haben aber ich bin mir nicht sicher was die Argumentation bzw das korrekte Aufschreiben angeht.
Also ich habe einen Vektorraum V und die beiden Unterräume [mm] W_{1} [/mm] und [mm] W_{2}. [/mm] Ich soll zeigen dass die Summe [mm] W_{1}+W_{2} [/mm] der Unterräume gleich der linearen Hülle der Vereinigung [mm] L(W_{1}\cup\\W_{2}) [/mm] ist.
Meine Lösung sieht dann so aus: Sei [mm] v_{1}\in\\W_{1} [/mm] und [mm] v_{2}\in\\W_{2} [/mm] dann folgt für die Summe [mm] W_{1}+W_{2}=v_{1}+v_{2} [/mm] und für die lineare Hülle der Vereinigung [mm] L(v_{1},v_{2}). [/mm] Die lineare Hülle ist ja nichts anderes als die Menge aller Linearkombinationen der beiden Vektoren und die Summe der Unterräume stellt eine solche LK dar. Kann ich das so begründen dass auch Vielfache der Summe der beiden Vektoren auch in der Summe der Unterräume liegen? Dann hätte ich doch gezeigt was gefordert ist oder?
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> Hallo zusammen,
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> ich hab folgende Aufgabe die ich glaube gelöst zu haben
> aber ich bin mir nicht sicher was die Argumentation bzw das
> korrekte Aufschreiben angeht.
Hallo,
zu zeigen ist für Unterräume [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] eines Vektorraumes V, daß [mm] W_1+W_2=L(W_1\cup W_2).
[/mm]
Zeigen mußt Du dafür, daß jeder Vektor aus [mm] W_1+W_2 [/mm] eine Linearkombination von Vektoren aus [mm] W_1\cap W_1 [/mm] ist, und umgekehrt.
Zu zeigen ist also
1.
[mm] W_1+W_2\subseteq L(W_1\cup W_2)
[/mm]
und
2.
[mm] L(W_1\cup W_2)\subseteq L(W_1\cup W_2).
[/mm]
Beweis:
1.
Es sei [mm] v\in W_1+W_2.
[/mm]
Dann gibt es Vektoren [mm] w_1\in W_1 [/mm] und [mm] w_2\in W_2 [/mm] mit
v=... [mm] =1*w_1+1*w_2.
[/mm]
Es sind [mm] w_1,w_2\in W_1\cup W_2,
[/mm]
also ist [mm] v\in [/mm] ...
2. Es sei [mm] v\in L(W_1\cup W_2).
[/mm]
Dann gibt es Vektoren [mm] v_1, v_2,...v_j\in W_1 [/mm] und [mm] u_1,...,u_k\in W_2, [/mm] und Zahlen [mm] a_1,...,a_j,b_1,...,b_k\in \IR (\*)
[/mm]
mit
[mm] v=a_1v_1+...+a_jv_j+b_1u_1+...b_ku_k.
[/mm]
Nun mußt Du begründen, warum das in [mm] W_1+W_2 [/mm] liegt.
Ich glaube aufgrund dessen, was Du schreibst, durchaus, daß Dir irgendwie klar ist, daß die zu zeigende Aussage stimmt.
Deine Lösung ist keine, schon deshalb, weil Du nicht unterscheidest zwischen einem Element aus [mm] W_1+W_2 [/mm] und dem Raum [mm] W_1+W_2 [/mm] selber
LG Angela
> Meine Lösung sieht dann so aus: Sei [mm]v_{1}\in\\W_{1}[/mm] und
> [mm]v_{2}\in\\W_{2}[/mm] dann folgt für die Summe
> [mm]W_{1}+W_{2}=v_{1}+v_{2}[/mm] und für die lineare Hülle der
> Vereinigung [mm]L(v_{1},v_{2}).[/mm] Die lineare Hülle ist ja
> nichts anderes als die Menge aller Linearkombinationen der
> beiden Vektoren und die Summe der Unterräume stellt eine
> solche LK dar. Kann ich das so begründen dass auch
> Vielfache der Summe der beiden Vektoren auch in der Summe
> der Unterräume liegen? Dann hätte ich doch gezeigt was
> gefordert ist oder?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:38 Di 29.10.2013 | | Autor: | Cracker47 |
Hallo Angela,
bei deinem Beweis zu 1. habe ich eine Frage: Das [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] jeweils Elemente der Vereinigung sind ist mir klar aber v selbst kann dann doch nicht in der Vereinigung liegen denn die Vereinigung von 2 Unterräumen ist doch im Allgemeinen kein Unterraum. Es gilt doch wenn [mm] w_1,w_2\in\\W_1\cup\\W_2 [/mm] dass dann [mm] w_1+w_2=v\not\in\\W_1\cup\\W_2 [/mm] oder nicht?
Edit: Moment darum gehts hier doch gar nicht. Wenn [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] in der Vereinigung liegen dann ist die lineare Hülle doch gerade die Menge aller LK von diesen beiden Vektoren. Dann folgt doch aus deinem Beweis zu 1. dass v ein Element der linearen Hülle ist oder bin ich da aufm Holzweg?
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> Hallo Angela,
>
> bei deinem Beweis zu 1. habe ich eine Frage: Das [mm]w_1[/mm] und
> [mm]w_2[/mm] jeweils Elemente der Vereinigung sind ist mir klar aber
> v selbst kann dann doch nicht in der Vereinigung liegen
Hallo,
v kann in der Vereinigung liegen (falls nämlich zufällig [mm] w_1+w_2 [/mm] auch in [mm] W_1 [/mm] oder [mm] W_2 [/mm] liegt), aber es kann auch sein, daß v nicht drinliegt,
> denn die Vereinigung von 2 Unterräumen ist doch im
> Allgemeinen kein Unterraum.
> Es gilt doch wenn
> [mm]w_1,w_2\in\\W_1\cup\\W_2[/mm] dass dann
> [mm]w_1+w_2=v\not\in\\W_1\cup\\W_2[/mm] oder nicht?
Nein, das gilt nicht.
Es gilt lediglich, daß aus [mm] w_1,w_2\in\\W_1\cup\\W_2 [/mm] nicht folgt, daß [mm] w_1+w_2=v\in\\W_1\cup\\W_2.
[/mm]
>
> Edit: Moment darum gehts hier doch gar nicht. Wenn [mm]w_1[/mm] und
> [mm]w_2[/mm] in der Vereinigung liegen dann ist die lineare Hülle
> doch gerade die Menge aller LK von diesen beiden Vektoren.
Hm. Ich weiß gerade nicht, worauf Du hinauswillst.
Natürlich ist die lineare Hülle von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] die Menge der Linearkombinationen von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2.
[/mm]
Also ist [mm] v\in L(\{w_1, w_2\}).
[/mm]
Du mußt aber sagen, warum [mm] v\in L(W_1\cup W_2).
[/mm]
> Dann folgt doch aus deinem Beweis zu 1.
Daraus folgt bisher gar nichts. Der ist ja noch nicht ganz fertig.
> dass v ein Element
> der linearen Hülle
Aus der linearen Hülle wovon?
> ist oder bin ich da aufm Holzweg?
Ich weiß nicht so recht.
Ich habe im Moment keine Möglichkeit zu entscheiden, ob Dein Beweis richtig oder falsch ist.
Du schwafelst so viel.
Ich hatte doch alles so schön aufgeschrieben, und ich verstehe jetzt nicht so recht,
warum Du hier jetzt viele Worte machst, aber keinen vollständigen Beweis vorzeigst.
Es fehlte doch bei 1. echt nur wenig.
LG Angela
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