Lineare Optimierung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 21.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | EIn Landwirt hat 20 ha für den Anbau von Rüben und Kartoffeln zur Verfügung. Er kann maximal 32 Tage im Frühjahr auf die Bestellung der Felder verwenden. Dabei braucht die Aussaat von Rüben durchschnittlich 2 Tage pro ha, die Aussaat von Kartoffeln durschnittlich 1 Tag pro ha.
Ferner hat er für Erntearbeiten maximal 57 Tage Zeit. Die Rübenernte dauert durschnittlich 1,5 Tage pro ha, die Kartoffelernte durschnittlich 3,5 Tage pro ha.
Der Gewinn je ha Rüben beträgt 600 , je ha Kartoffeln 900 .
Wann erzielt der Bauer den höchsten Gewinn?
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. ***
Habe keine Ahnung, wie das gehen soll!
Ok,
für das Frühjahr könnte ich die Gleichung aufstellen:
32 = 2r + k
für den Herbst:
57 = 1,5r + 3,5 k
und für den Gewinn
G = 600 r + 900 k.
Aber wie jetzt weiter???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 21.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Hase,
ich habe mich lange nicht mehr mit linearer Optimierung beschäftigt - ich kann dir nur eine graphische Lösung präsentieren, den Simplex-Algorithmus habe ich leider nicht mehr drauf...
Also, wir wollen den idealen Anbauplan berechnen, das heißt, die Größe der Anbauflächen für Rüben und Kartoffeln bestimmen, mit denen der Bauer den größten Gewinn erwirtschaftet.
Deine Gleichungen sind alle richtig, allerdings müssten es Ungleichungen sein:
(1) "Der Bauer hat zur Aussaat maximal 32 Tage Zeit": [mm] $2r+k\le [/mm] 32$.
(2) "Er hat zum Ernten maximal 57 Tage Zeit": [mm] $\bruch{3}{2}r+\bruch{7}{2}k\le [/mm] 57$ und
(3) "Er darf maximal 20 Hektar anbauen": [mm] $r+k\le [/mm] 20$. (das hattest du vergessen!)
Wir zeichnen zunächst das zulässige Gebiet, d.h. wir fassen die Ungleichungen (1)-(3) jetzt wieder als Gleichungen auf (von da her war dein Ansatz schon richtig!):
(1) [mm] $2r+k=32\gdw r=\bruch{32-k}{2}=16-\bruch{1}{2}k$
[/mm]
(2) [mm] $\bruch{3}{2}r+\bruch{7}{2}k=57\gdw r=\bruch{57-\bruch{7}{2}k}{\bruch{3}{2}}=38-\bruch{7}{3}k$
[/mm]
(3) [mm] $r+k=20\gdw [/mm] r=20-k$
Die schraffierte Fläche in folgender Skizze enthält alle zulässigen Anbaupläne:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir müssen nun den Punkt heraussuchen, bei dem der Gewinn am größten wird. Die Gewinnfunktion ist $G=600r+900k$, nach $r$ umgeformt: [mm] $r=\bruch{G-900k}{600}=\bruch{G}{600}-\bruch{9}{6}k$.
[/mm]
Diese Gerade hat die Steigung [mm] $m=-\bruch{9}{6}$. [/mm] Wir zeichnen eine solche Gerade in das Schaubild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Gewinn wird größer, je weiter ich diese Gerade vom Ursprung "wegschiebe" (die Steigung ist fest - ich kann nur parallelverschieben!).
Man stellt fest, dass die ideale Gewinngerade genau durch den Schnittpunkt von (2) und (3) verläuft, denn das ist der äußerste Punkt des zulässigen Gebietes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dieser Schnittpunkt hat die Koordinaten [mm] $\left(\bruch{27}{2},\bruch{13}{2}\right)$.
[/mm]
Der ideale Anbauplan wäre also [mm] $k=\bruch{27}{2}$ [/mm] und [mm] $r=\bruch{13}{2}$. [/mm] Der Gewinn beträgt dann $G=16050$.
Ich hoffe, du kannst etwas damit anfangen. Das Thema ist leider sehr komplex - frag' bitte nochmal nach, wenn dir etwas unklar ist, ok?
MFG,
Yuma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Di 21.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Yuma,
herzlichen Dank für die Lösung. Doch, es ist mir jetzt einiges klarer.
Frage mich nur, ob das wirklich in den Lehrplan für die 8. Klasse gehört...
oder nur Panikreaktion auf "Pisa" ist.
Kann mich jedenfalls nicht erinnern, solche Aufgaben in der Schule gehabt zu haben. Nunja, man kann ja viel vergessen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Di 21.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Hase,
> herzlichen Dank für die Lösung. Doch, es ist mir jetzt
> einiges klarer.
Gern geschehen - freut mich, wenn du etwas damit anfangen konntest!
> Frage mich nur, ob das wirklich in den Lehrplan für die 8.
> Klasse gehört...
> oder nur Panikreaktion auf "Pisa" ist.
Ich hatte eine sehr ähnliche Aufgabe in meiner Numerikklausur. Nur zur Erklärung: Numerik hört man frühestens im dritten Semester in den Studiengängen Mathe auf Lehramt oder Diplom. Das dürfte deine Frage beantworten! 
Allerdings muss man auch sagen, dass die mathematischen Fertigkeiten, die man für dieses Lösungsverfahren benötigt, durchaus schon in der Mittelstufe zur Verfügung stehen!
> Kann mich jedenfalls nicht erinnern, solche Aufgaben in der
> Schule gehabt zu haben. Nunja, man kann ja viel vergessen.
Für wen habe ich das denn jetzt gelöst?
Viele Grüße an die betreffende Person!
MFG,
Yuma
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