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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
| Aufgabe | Ein Unternehmen, das eine Marktlücke in der Produktion von Spezialdünger gefunden hat, benötigt für einen Orchideen-Dünger zwei Rohstoffe R1 und R2. Diese Rohstoffe enthalten drei verschiedene Mineralien M1, M2, M3 und M4. Die Tabelle zeigt, wie viele ME der Mineralien in einer ME von R1 und R2 enthalten sind.
Der Dünger soll in seiner endgültigen Mischung mindestens 300 ME des Minerals M1, 100 ME von M2, 200 ME von M3 und 200 ME von M4 enthalten. Die Kosten für R1 betragen 5 GE und für R2 fallen Kosten von 4 GE an. Wie sollen die Rohstoffe gemischt werden, damit die erforderlichen Mineralien im Dünger sind und die Kosten minimiert werden?
m1 m2 m3 m4
r1 50 100 20 80
r2 50 10 50 25
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die antwort auf die aufg. soll sein:
Rohstoff R1 » 0,91 ME (Genauer Wert = )
Rohstoff R2 » 5,09 ME (Genauer Wert = )
Die minimalen Kosten betragen » 24,91 GE. ( Genauer Wert = )
Doch ich bekomme etwas ganz anderes raus:
Gerechnet habe ich so:
I) Festlegung d. Variablen
x1= Anzahl R1
x2=Anzahl R2
II) NNB
x1,x2 > 0
III) Kapazitätsbeschränkungen
1) 50x1+50x2>300
2) 100x1+10x2>100
3) 20x1+50x2>200
4) 80x1+25x2>200
IV) Zielfunktion
K=5x1+4x2
IV) Umformung der Kapazitätsbeschränkungen
1) 50x1+50x2>300
50x2>-50x1+300
x2=-x1+6
2) 100x1+10x2>100
10x2>-100x1-100
x2=-10x1+10
3) 20x1+50x2>200
50x2>-20x1+200
x2>-0,4x1+4
4) 80x1+25x2>200
25x2>-80x1+200
x2=-3,2x1+8
(wenn ich > oder < schreibe...gehört da natürlich ein _ unter das zeichen...ich weiss nur nicht wie ich das hinbekomme mit der tastatur)
VI) Umformung Zielfunktion
K=5x1+4x2
K-5x1=4x2
-1,25x1+ K/4 = x2
VII) Bestimmung der optimalen Lösung
Schnittpunkt 1) und 2)
-x1+6=-10x1+10
9x1+6=10
9x1=4
x1=0,44
x2= -10*0,44+10
= 5,6
das ist leider nicht das ergebnis, was rausbekommen sollte!? ich weiss aber nicht, was ich falsch gemacht habe!?
für hilfe wär ich sehr dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> das ist leider nicht das ergebnis, was rausbekommen
> sollte!? ich weiss aber nicht, was ich falsch gemacht
> habe!?
Du hast hier doch 4 Kapazitätsbeschränkungen, hast aber nur mit den ersten beiden gerechnet.
Wenn du deine Lösung zum Beispiel in die vierte Bedingung
[mm]80x_1+25x_2\geq200 [/mm]
einsetzt, siehst du, dass diese Beschränkung verletzt ist.
Du müsstest alle 6 möglichen Schnittpunkte ausrechnen.
Am besten ist es, du malst dir die Bedingungen auf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Farben entsprechen:
1) blau
2) rot
3) violett
4) gelb
Erlaubt ist Alles oberhalb der Geraden.
Du hast den Schnittpunkt der blauen und roten Graden berechnet. Der liegt aber unterhalb der gelben Linie und verletzt daher die vierte Bedingung. Aus dem Bild siehst du, dass nur die Schnittpunkte der gelben mit der roten oder blauen Linie in Frage kommen. Jetzt überprüfst du noch, an welchem Punkt die Zielfunktion maximal wird, und du bekommst die angegebene Lösung.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
danke für die ausführliche antwort.
leider versteh ich es trotzdem nicht.
im unterricht haben wir einfach immer die 1. kapazitätsbeschränkung (umgeformt) mit der 2. gleich gesetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole,
> danke für die ausführliche antwort.
> leider versteh ich es trotzdem nicht.
OK, ich versuche, es besser zu erklären.
> im unterricht haben wir einfach immer die 1.
> kapazitätsbeschränkung (umgeformt) mit der 2. gleich
> gesetzt.
Wenn du nur die 1. und 2. hast, liegt die Lösung auf dem Schnittpunkt. Aber wenn du mehr als 2 hast, ist das nicht genug. Du darfst ja die 3. und 4. Kapazitätsbeschränkung nicht einfach weglassen.
Das Bild soll das verdeutlichen: jede der vier Linien ist eine grafische Darstellung einer der Kapazitätsbeschränkungen. Nehmen wir die 1., das ist die blaue Linie ([mm]x_2\geq-x_1+6 [/mm]). Das bedeutet: alle Punkte in dem Bild, die unterhalb der blauen Linie liegen, verletzen diese Beschränkung. Alle Punkte auf der blauen Linie und oberhalb davon erfüllen diese Beschränkung.
Also kann die Lösung nur auf oder oberhalb der blauen Linie liegen.
Jetzt nehmen wir die zweite Kapazitätsbeschränkung [mm]x_2\geq-10x_1+10 [/mm], das ist die rote Linie. Wieder muss die Lösung auf oder oberhalb der roten Linie liegen.
Du hast den Schnittpunkt der blauen und der roten Linie ausgerechnet. Wenn es nur die 1. und 2. Beschränkung gäbe, wärst du fertig.
Du hast aber hier noch die 3. und 4. Beschränkung, die durch die violette und gelbe Linie dargestellt werden. Auch hier gilt: Die Lösung muss auf oder oberhalb der violetten Linie und auf oder oberhalb der gelben Linie liegen.
Die einzigen Schnittpunkte, die alle Bedingungen erfüllen, sind rot-gelb und blau-gelb.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
danke für die schnelle, ausführliche antwort...
ich werde mich morgen noch mal auf die antwort stürzen, jetzt versteh ich nur noch bahnhof...ich glaub, es ist einfach zu spät für mich.
komme ich denn auch auf diese erkenntnis, die du lieferst, ohne die beschränkungen vorher irgendwo zu zeichnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole,
> danke für die schnelle, ausführliche antwort...
> ich werde mich morgen noch mal auf die antwort stürzen,
> jetzt versteh ich nur noch bahnhof...ich glaub, es ist
> einfach zu spät für mich.
Manchmal muss man es einfach mal einsickern lassen 
> komme ich denn auch auf diese erkenntnis, die du lieferst,
> ohne die beschränkungen vorher irgendwo zu zeichnen?
Du kannst der Reihe nach die Schnittpunkte ausrechnen und überprüfen, ob es mögliche Lösungen sind.
Im vorliegenden Fall sind alle möglichen Kombinationen 6 Punkte:
1-2 (Bedingung 1 = Bedingung 2)
1-3
1-4
2-3
2-4
3-4
In jedem Fall musst du die Zahlen, die du rausbekommst, in die anderen beiden einsetzen. Beispiel 1-2:
Gleichsetzen ergibt:
[mm] -x_1+6 =-10x_1+10 \Longleftrightarrow x_1 = \bruch{4}{9} \Longrightarrow x_2=\bruch{50}{9}\approx 5,6\[/mm]
Jetzt in 3 eingesetzt:
[mm] -\bruch{2}{5}x_1 + 4 = \bruch{172}{45} \approx 3,8 \leq \bruch{50}{9}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In 4 eingesetzt:
[mm] -\bruch{16}{5}x_1 + 8 = \bruch{296}{45} \approx 6,6[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , denn das ist größer als [mm]x_2=\bruch{50}{9}[/mm].
Also ist die 4. Kapazitätsbedingung nicht erfüllt, also ist es keine Lösung.
In den anderen Fällen geht es genauso: Schnittpunkt 1-3 bestimmen und in 2 und 4 einsetzen, usw.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 04.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
danke für die antwort.
ich habe leider heute abend schule...werde mir die antwort aber morgen abend auf jeden fall intensiv anschauen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
ps:
und woher weiss ich, dass meine lösung unterhalb o. oberhalb der gerade liegen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole,
> ps:
> und woher weiss ich, dass meine lösung unterhalb o.
> oberhalb der gerade liegen muss?
Das siehst du an der Bedingung: wenn es zum Beispiel heisst
[mm]x_2 \geq 4x_1+6[/mm]
dann muss [mm]x_2[/mm] größer sein als [mm]4x_1+6[/mm], also liegt die Lösung oberhalb der Gerade [mm]x_2 = 4x_1+6[/mm].
Wenn es heisst:
[mm]x_2 \leq 4x_1+6[/mm]
dann liegt die Lösung unterhalb der Gerade [mm]x_2 = 4x_1+6[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 04.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
also die antwort auf meine frage muss ich mir in ruhe anschaun...da werd ich mir morgen abend zeit für nehmen...das versteh ich leider nicht auf anhieb.
aber ich hab eine grudlegende frage noch: wenn man die kapazitätsbeschränkungen umformt und z.b.
-10x2 > 20x1 + 80 /:(-10)
x2< 2x1 + 8
ist es richtig, das man das > zeichen umkehrt, wenn man durch eine negative zahl teilt?
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> ist es richtig, das man das > zeichen umkehrt, wenn man
> durch eine negative zahl teilt?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Nicole11 |
Danke ihr lieben für die nette hilfe!!!
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