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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 So 19.10.2014 | | Autor: | Bart0815 |
| Aufgabe | Stellen Sie die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen grafisch dar.
Zielfunktion: [mm] 80x_{1}+40x_{2}\to [/mm] max!
Nebenbedingungen:
[mm] (1)\bruch{3}{4}x_{1}+x_{2}\le30
[/mm]
[mm] (2)x_{2}\le24
[/mm]
[mm] (3)3x_{1}-x_{2}\le60
[/mm]
Nichtnegativitätsbestimmung: [mm] x_{1},x_{2}\ge0 [/mm] |
Hallo zusammen,
habe die Aufgabenstellung aus einer Übungsklausur. Nun sollen wir das ganze Grafisch Darstellen. Die Funktion [mm] x_{2}\le24 [/mm] müsste ja eine Gerade sein, aber wie handhabe ich das bei den anderen Funktionen? Wie stelle ich diese um, damit ich die notwendigen Punkte für mein Koordinatensystem habe?
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> Stellen Sie die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen
> grafisch dar.
> Zielfunktion: [mm]80x_{1}+40x_{2}\to[/mm] max!
> Nebenbedingungen:
> [mm](1)\bruch{3}{4}x_{1}+x_{2}\le30[/mm]
> [mm](2)x_{2}\le24[/mm]
> [mm](3)3x_{1}-x_{2}\le60[/mm]
> Nichtnegativitätsbestimmung: [mm]x_{1},x_{2}\ge0[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> habe die Aufgabenstellung aus einer Übungsklausur. Nun
> sollen wir das ganze Grafisch Darstellen. Die Funktion
> [mm]x_{2}\le24[/mm] müsste ja eine Gerade sein, aber wie handhabe
> ich das bei den anderen Funktionen? Wie stelle ich diese
> um, damit ich die notwendigen Punkte für mein
> Koordinatensystem habe?
Hallo Bart0815,
[mm]x_{2}\le24[/mm] (und auch die anderen beiden
Nebenbedingungen) ist weder eine Funktion noch
eine Gerade, sondern eine Ungleichung.
Dargestellt wird jede dieser 3 Ungleichungen durch
eine Halbebene, die durch eine Gerade berandet ist.
So hat z.B. die Randgerade zu (3) die Gleichung
[mm]3x_{1}-x_{2}\ =\ 60[/mm]
Das kannst du z.B. auch so schreiben:
[mm]x_{2}\ =\ 3x_{1}-60[/mm]
Zeichne also für (3) zunächst einmal diese Gerade im
Koordinatensystem ein. Dann muss aber auch noch klar
werden, welche Halbebene (die über oder unter dieser
Randgeraden) das Lösungsgebiet enthält. Es würde also
Sinn machen, die gesamte Ungleichung umzuformen.
Dann hätten wir:
[mm]x_{2}\ \ge\ 3x_{1}-60[/mm]
Es geht also um die Halbebene oberhalb der Geraden
(mit Einschluss der Geraden selbst). In der Zeichnung
könnte man nun ev. diese Halbebene mit einer
Farbe schraffieren. Bei mehreren Ungleichungen wird
dies aber leicht unübersichtlich (Stichwort Geschmier).
Man kann aber die Schraffur auch durch einen kleinen
Pfeil, der von einem Punkt der Geraden in die richtige
Halbebene hinein zeigt, ersetzen.
Zur grafischen Darstellung der Zielfunktion eignet sich
der Normalenvektor [mm] $\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{80\\40}$ [/mm] der Geraden (bzw. der
Parallelenschar) mit der Gleichung
$\ Z\ =\ [mm] 80x_{1}+40x_{2}$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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