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Hallo,
ich habe jetzt mit dem Thema Lineare Algebra angefangen.
Im Moment bin ich bei dem Thema Lineare Unabhängigkeit.
Linear Unabhängig sind Vektoren ja dann, wenn a=b=c=0( in meinem Fall)
hier:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} ,\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -1} ,\vektor{1 \\ 4 \\ 5\\ 9} [/mm]
das habe ich dann so geschrieben:
a+b+c=0
2a +4c=0
3a+b+5c=0
4a-b+9c=0
umgeformt komme ich auf
a+b+c=0
0=0
0=0
0=0
was genau sagt mir das jetzt?
Das Kriterium ist ja, das ich den Nullvektor nicht ausdrücken kann.
Aber das habe ich hier ja nicht nachgewiesen.
Viele Grüße
Philipp
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> Hallo,
Hey!
> ich habe jetzt mit dem Thema Lineare Algebra angefangen.
> Im Moment bin ich bei dem Thema Lineare Unabhängigkeit.
> Linear Unabhängig sind Vektoren ja dann, wenn a=b=c=0( in
> meinem Fall)
Genau! Denn falls die Vektoren lin. unabh. sind kann man einen geschlossenen Vektorzug nur durch die triviale Darstellung [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = ... = [mm] a_n [/mm] = 0 bekommen.
> hier:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} ,\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -1} ,\vektor{1 \\ 4 \\ 5\\ 9}[/mm]
>
> das habe ich dann so geschrieben:
>
>
> a+b+c=0
> 2a +4c=0
> 3a+b+5c=0
> 4a-b+9c=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> umgeformt komme ich auf
>
> a+b+c=0
> 0=0
> 0=0
> 0=0
>
> was genau sagt mir das jetzt?
Hier ist ja a=b=c=0 nicht erfüllt. Denn z.B. a=1, b=1, c=-2 ist eine mögliche Lösung des Gleichungssystems. Damit sind die drei Vektoren linear abhängig.
> Das Kriterium ist ja, das ich den Nullvektor nicht
> ausdrücken kann.
> Aber das habe ich hier ja nicht nachgewiesen.
> Viele Grüße
> Philipp
>
Gruß Patrick
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Als nächstes soll ich eine Basis des von den Vektoren aufgespannten Untervektorraums bilden.
Da ja alle Linear sind, müsste es ja egal sein, welchen Vektor ich mir rauspicke.
Der Vektor müsste dann doch auch gleich die Basis des Untervektorraums sein oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ersten post: bevor du auf 0=0 kommst stehn da 2 identische Gleichungen.
aus einer der beiden folgerst du etwa a=-2c
das in die erste, liefert noch ne Beziehung zw. a und c.
Da deine 3 Vektoren zwar nicht wie du schreibst linear sind, sondern linear abhängig, hast du höchstens 2 linear unabhängige, du kannst aus den dreien 2 beliebige raussuchen, (müsstest noch zeigen, dass die lin unabh. sind, aber das sieht man sofort, dass keiner ein Vielfaches der anderen ist)
also wähl 2 beliebige als Basis.
so wie dus schreibst ist es falsch, dein >UR ist 2 dimensional also 2 Basisvektoren!
gruss leduart
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Sorry, aber ich habs noch nicht verstanden.
Gegeben sind doch 3 Vektoren.
Wenn alle 3 linear abhängig sind, dann bleibt doch nur einer übrig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
Linear abhängig heißt, daß einer der drei Vektoren durch irgendeine Kombination der anderen beiden Vektoren darstellbar sein muß.
Hier kommt man auf 4 Gleichungen mit zwei Variablen, und der Vektor
(1 2 3 4) = 0,5 *(1 0 1 -1) + 0,5*(1 4 5 9) läßt sich durch die beiden anderen Vektoren darstellen.
Er ist also durch die beiden anderen Vektoren darstellbar, demzufolge linear von diesen abhängig.
guenther
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
deutlicher ausgedrückt:
er spannt keine weitere Richtungkeinen weiteren Raum auf, er befindet sich in der Ebene/im Raum der beiden anderen Vektoren/Tensoren
guenther
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Sorry, aber ich habs noch nicht verstanden.
> Gegeben sind doch 3 Vektoren.
> Wenn alle 3 linear abhängig sind, dann bleibt doch nur
> einer übrig.
nein, die drei Vektoren spannen einen Untervektorraum auf (die Menge aller Linearkombinationen dieser drei Vektoren bildet einen Untervektorraum des [mm] $\IR^4$), [/mm] das heißt, sie bilden ein Erzeugendensystem des Untervektorraums.
Was klar ist:
- Der Unterraum, nennen wir ihn $U$, kann zum einen keine größere Dimension als [mm] $\IR^4$ [/mm] haben, also [mm] $\dim(U) \le [/mm] 4$.
- Weiterhin wird der Unterraum von 3 Vektoren erzeugt, was [mm] $\dim(U) \le [/mm] 3$ zur Folge hat.
- Du hast nachgerechnet, dass die 3 Vektoren, die ein Erzeugendensystem des Unterraums $U$ bilden, linear abhängig sind, was [mm] $\dim(U) [/mm] < 3$ bzw. [mm] $\dim(U) \le [/mm] 2$ zur Folge hat.
Und nun kann man hier zwei Wege verfolgen, wie man eine Basis dieses Unterraums "bastelt", um zu erkennen, dass [mm] $\dim(U)=2$ [/mm] gilt:
1.) Man nehme ein Erzeugendensystem und entferne (sofern die in diesem System stehenden Vektoren noch linear abhängig sind) solange Vektoren daraus, bis eine Menge linear unabhängiger Vektoren entsteht. Wenn Du nun die drei Vektoren hast, sind sie linear abhängig. Nun schmeiß einfach einen der drei Vektoren weg, und Du erkennst, dass die verbleibenden (zwei) Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis bilden.
(Beachte, dass es immer "sehr viele" mögliche Basen für einen Unterraum gibt. Das einzige, was im endlichdimensionalen Raum immer gleich sein wird, wird deren Anzahl sein).
2.) Man konstruiert mittels des Basisergänzungssatzes eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Du wirst hier sehen (die Vektoren, mit denen wir eine Basis "basteln", entnehmen wir der Einfachheit halber einfach unserem gegebenen Erzeugendensystem):
1 Vektor alleine ist linear unabhängig. Nehme ich irgendeinen (der beiden verbleibenden) des Erzeugendensystems hinzu, so sind diese beiden immer noch linear unabhängig. Da alle 3 nach Deiner Rechnung linear abhängig sind, dürfen wir den dritten nicht hinzunehmen; mit den beiden haben wir also schon eine Basis konstruiert.
Und das Deine Aussage nicht stimmt:
Betrachte mal $(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) [mm] \in \IR^3$ [/mm] als Vektoren des euklidischen Raumes [mm] $\IR^3$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum. [/mm]
Hier wirst Du erkennen:
Die Summe der ersten beiden ergibt den dritten, also sind diese 3 Vektoren linear abhängig. Das heißt, der Unterraum, der von diesen drei Vektoren erzeugt wird, hat eine Dimension [mm] $\le [/mm] 2$. Ich nehme nun den ersten Vektor $(1,0,0)$, der selber ist linear unabhängig. Man erkennt sofort, dass auch die beiden Vektoren $(1,0,0),(1,1,0)$ linear unabhängig sind (ich nehme extra mal den dritten hinzu, damit meine Basis des Unterraums nicht zu trivial wird). Und damit habe ich hier auch schon eine Basis - $(1,0,0),(1,1,0)$ - des Unterraums des [mm] $\IR^3$, [/mm] wobei der Unterraum durch $(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)$ erzeugt wurde, angegeben.
Und hier erkennst Du:
Mittels den beiden Vektoren $(1,0,0),(1,1,0) $ kann man auch den Vektor $(0,1,0)$ linearkombinieren (man ziehe den ersten vom zweiten ab), aber der Unterraum hat dennoch natürlich nicht die Dimension $1$, sondern 2; eine jede Basis des Unterraums besteht aus genau zwei (linear unabhängigen) Vektoren.
Also:
Konstruiere einfach eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, um eine Basis eines Vektorraums angeben zu können.
(Dies beruht auf dem Prinzip, dass eine Basis eine "maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren" ist.)
Oder konstruiere ein minimales Erzeugendensystem (man entfernt also solange Vektoren aus dem Erzeugendensystem, bis die verbleibenden Vektoren linear unabhängig sind (und stoppt diesen Prozess natürlich genau dann, wenn die Vektoren zum ersten Mal linear unabhängig sind;)).
Zum Beispiel würde diese Vorgehensweise in meinem Beispiel so aussehen (können):
$(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)$ bilden hier ein Erzeugendensystem des Unterraums. Diese 3 sind linear abhängig. Wir entfernen mal den ersten Vektor, und betrachten $(0,1,0),(1,1,0)$. Diese beiden sind offensichtlich linear unabhängig [mm] $\rightarrow$ [/mm] STOP: Diese beiden bilden eine Basis.
Dazu auch:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Danke für deine Antwort. Hat mir sehr geholfen.
Stimmt, das System kann kein eindemensionales sein.
Sonst wäre ja a*Vektor1=b*Vektor2=c*Vektor3
Ich habe dazu mal eine andere Aufgabe gerechnet.
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4},\vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] ,\vektor{7 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
[mm] ,\vektor{4 \\ 0 \\ -4}
[/mm]
Hier kann man die Frage nach der linearen Unabhängigkeit sofort klären.
Die Vekotren sind alle dreidemensional, das bedeutet, sie können auch maximal einen dreidemensionalen Raum aufspannen
[mm] dim(U)\le3
[/mm]
Da wir aber 4 haben muss mind. ein linear abhängig sein.
Der Einfachheit halber, kann man ja schon mal gucken ob
Vektor(beliebig)=a*Vektor(beliebig)
Das ist leider nicht gegeben.
Also mache ich es mit Gauß
2374=0
3030=0
421-4=0
0 4 13 12=0
3 0 3 0=0
0 -4 -13 -12=0
0 4 13 12 =0
3 0 3 0=0
0 0 0 0=0
daraus folgt dann linear abhängig
und somit [mm] dim(U)\le3
[/mm]
Diese Rechnung hätte man sich aber auch sparen können, weil man bei 4 Vekoren ( bei denen man sieht, das sie kein vielfaches voneinander sin)
sofort einen rausstreichen kann.
und dann
2 3 7=0
3 0 3=0
4 2 1=0 ( geschickter wäre es eigentlich den Vektor [mm] \vektor{7 \\ 3 \\ 1}rauszunehmen)Dann [/mm] weiss man ja direkt, dass
{2 [mm] \\ [/mm] 3 [mm] \\ [/mm] 4}l.u ist
2 3 7=0
0 9 15=0
0 2 13=0
2 3 7=0
0 18 30=0
0 18 117=0
2 3 7=0
0 18 30=0
0 0 87=0
und daraus folgt, dass die 3 l.u sind
[mm] span(\vektor{2 \\ 3 \\ 4},\vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] ,\vektor{7 \\ 3 \\ 1}) [/mm] bildet also eine Basis des dreidemensionalen raums
Hoffe mal ich hab jetzt alles richtig gemacht.
Bei dem ersten Gauß Algo. bin ich mir nicht ganz sicher.
Viele grüße
Philipp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
ich werde Deine Frage gerade aus Zeitgründen nur teilweise beantworten, aber eine Anmerkung:
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4},\vektor{3 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> [mm],\vektor{7 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm],\vektor{4 \\ 0 \\ -4}[/mm]
>
> Hier kann man die Frage nach der linearen Unabhängigkeit
> sofort klären.
> Die Vekotren sind alle dreidemensional, das bedeutet, sie
> können auch maximal einen dreidemensionalen Raum
> aufspannen
Genau! Bzw. besser:
Es sind alles Vektoren eines dreidimensionalen Vektorraumes (also Elemente eines dreidimensionalen Vektorraums). Das meinst Du aber, wenn Du sagst, dass die Vektoren "dreidimensional" seien, wenngleich mir diese Ausdrucksweise nicht geläufig ist.
> [mm]dim(U)\le3[/mm]
> Da wir aber 4 haben muss mind. ein linear abhängig sein.
Hier sind wir wieder an der Stelle, wo ich Dich bitten muss, auf Deine Wortwahl zu achten. Du meinst nicht, dass ein Vektor linear abhängig sein muss, denn das hieße für einen Vektor $v$, dass für einen Skalar [mm] $\alpha$ [/mm] die Gleichung
[mm] $\alpha*v=0$ [/mm] (wobei rechterhand der Nullvektor gemeint ist)
auch für ein [mm] $\alpha \not=0$ [/mm] lösbar wäre, was $v=0$ implizierte.
Du meinst auch nicht, dass ein Vektor von den anderen linear abhängig sein muss, denn dann müsste man erst mal den Sinn dieser "Sprechweise" definieren.
Was Du sagen willst, ist, wenn wir 4 Vektoren eines dreidimensionalen Vektorraums haben, so läßt sich (mindestens) einer dieser 4 Vektoren durch eine Linearkombination der anderen 3 darstellen.
(Edit: Achtung, ich hatte das vorher falsch formuliert. Da stand, dass ein jeder sich durch eine Linearkombination der anderen 3 darstellen ließe. Das ist natürlich falsch, wie das Beispiel
$(1,0,0),(2,0,0),(3,0,0),(0,0,1)$
zeigt, da es keine Linearkombination der ersten 3 Vektoren geben kann, die den 4en erzeugt!)
Wie gesagt: Bitte achte darauf, dass Du sprachlich auch das ausdrückst, was Du meinst! Denn ich könnte mich zum Beispiel auch auf den Standpunkt stellen, dass ich solche Aussagen als falsch oder als sinnlos abstemple, was sie eigentlich auch sind. Nur kann ich mir hier noch denken, was Du eigentlich meinst, aber je nachdem, wie komplex das "Thema" ist bzw. ich diese etwas "verwirrenden" Formulierungen nicht mehr durchschaue, wird das sehr schwer, zu erkennen, ob Du zwar das richtige meinst, aber was falsches sagst, weil man dann evtl. nicht mehr gut genug "erahnen" kann, was Du denn meinen könntest.
Also bitte:
Benutze die mathematische Sprache richtig und präzise. Das ist sehr wichtig, gerade dann, wenn man tiefer in die Theorie eindringt. Da darf man dann nicht mehr so lasch mit den Formulierungen umgehen, ansonsten wird alles missverständlich oder gar einfach falsch.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast recht, den ersten Teil hättest du sparen können. die letzte Zeile ist dabei falsch, da steht hinten ne 1! keine 0
2. Wenn du die erst Matrix (schreibs als Matrix und lass das =0 weg)
richtig gerechnet hast, steht auch schon fest, dass 3 lin unabh. sind!
(wenn allerdings dein Ergebnis mit nur 2 Zeilen die nicht ganz 0 sind da wären, gäbs nur 2 lin unabhängige.)
bei der ersten Matrix bzw. GaussV hast du ja schon alles gerechnet, bei der zweiten lässt du ja nur eine Spalte weg!
Aber richtig ist ausser der ersten Matrix alles.
Gruss leduart
Gruss leduart
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