Lineare Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 17.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum und [mm] s:VxV\to\IC [/mm] ein inneres Produkt. Seien [mm] v_{1},...,v_{m}\inV. [/mm] Man definiert nun die komplexe mxm-Matrix [mm] A:=(s(v_{i},v_{j}))_{i,j}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] linear unabhängig sind, genau dann wenn [mm] detA\not=0 [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß nicht genau, wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben kann, um es zu beweisen.
Also die Aufgabe ist mir klar und warum die Vektoren lin. unabhängig sind, wenn det [mm] A\not=0 [/mm] ist, weiß ich auch in etwa.
Wenn es lin. abhängige Vektoren in der Matrix geben würde, dann könnte man ja durch Zeilenumformungen etwas wegkürzen und eine Zeile wäre null. Dann entwickelt man nach dieser Zeile und die Determinante wäre dann 0. Wie kann man das genau aufschreiben? Außerdem habe ich dann die Rückrichtung noch nicht bewiesen, obwohl ich dir irgendwie ähnlich begründen würde...
Würde mich sehr über ein paar Tipps und Hinweise freuen....
|
|
| |
|
> Sei V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum und
> [mm]s:VxV\to\IC[/mm] ein inneres Produkt. Seien [mm]v_{1},...,v_{m}\inV.[/mm]
> Man definiert nun die komplexe mxm-Matrix
> [mm]A:=(s(v_{i},v_{j}))_{i,j}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear
> unabhängig sind, genau dann wenn [mm]detA\not=0[/mm]
Hallo,
demnach, was Du schreibst, bin ich mir nicht ganz sicher, ob Du die Aufgabe verstanden hast:
Die Matrix A ist ja nicht die Matrix, die die [mm] v_i [/mm] in den Spalten enthält, denn die Aussage, daß die Determinante der matrix, die die [mm] v_i [/mm] in den Spalten enthält, genau dann [mm] \not=0 [/mm] ist, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, dürfte wohlbekannt sein.
Es geht hier um die Unabhängigkeit der Spalten
[mm] \vektor{s(v_{1},v_{1})\\s(v_{2},v_{1})\\...\\s(v_{n},v_{1})}, \vektor{s(v_{1},v_{2})\\s(v_{2},v_{2})\\...\\s(v_{n},v_{2})}, [/mm] ..., [mm] \vektor{s(v_{1},v_{n})\\s(v_{2},v_{n})\\...\\s(v_{n},v_{n})},
[/mm]
welche Du sicher unter Zuhilfenahme von Eigenschaften des inneren Produktes zeigen mußt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:18 Do 18.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Ah okay danke!
Kannst du mir vielleicht ein bisschen die Schritte erklären, die man macht? Ich kenne mich nämlich noch nicht so gut aus mit dem inneren Produkt und weiß nicht, wie ich es anwenden soll... Das wäre lieb!
|
|
|
| |
|
> Ah okay danke!
>
> Kannst du mir vielleicht ein bisschen die Schritte
> erklären, die man macht? Ich kenne mich nämlich noch nicht
> so gut aus mit dem inneren Produkt und weiß nicht, wie ich
> es anwenden soll... Das wäre lieb!
Hallo,
so lieb ich meistens bin: es werden hier im Forum eigene Lösungsansätze von Dir erwartet - und davon sehe ich auch, nachdem ich Dir die Aufgabe versucht habe zu erklären, nicht den Ansatz einer zarten Spur.
Wenn ich Dir "ein bißchen die Schritte erkläre" läuft das darauf hinaus, daß ich selbst denke und rechne - was Deine Aufgabe ist, bei welcher die Helfer des Forums Dich i.d.R. jedoch gerne unterstützen.
Fang mal an, wenn's nicht weitergeht, kann man ja gemeinsam überlegen, und wenn Du gar nicht anfangen kannst, erkläre, wo die Unklarheiten liegen.
Vielleicht stellst Du Dir eins falsch vor: ich habe keine fertige Lösung, die ich aus dem Hut ziehen kann, sondern müßte mich genauso vorarbeiten, wie Du - möglicherweise geht's bei mir ein wenig schneller, aber einen prinzipiellen Unterschied gibt es nicht. Es müssen die Def. der Unabhängigkeit her, man muß klären, was ein inneres Produkt ist, vorher braucht man gar nicht zu beginnen. Anschließend: loslegen.
Zeig mal was!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
