Lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe nur eine kurze Frage:
Wenn n Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie auch paarweise linear unabhängig.
Wenn n Vekoren paarweise linear unabhängig sind, dann müssen sie nicht zwangsläufig linear unabhängig sein.
Ist das richtig?
Vielen Dank!
Gruß
Johannes
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Hallo Jo.Hannes,
> Wenn n Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie auch
> paarweise linear unabhängig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau, das kannst du direkt an der Definition nachvollziehen: Wenn [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] linear unabhängig, dann folgt aus
[mm] $\lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*v_{n} [/mm] = 0$
sofort
[mm] $\lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0$.
Wenn du nun eine beliebige Teilmenge aus diesen Vektoren nimmst (zum Beispiel eben eine Paar), o.E. [mm] (v_{1},v_{2}), [/mm] dann müsste gelten:
[mm] $\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2} [/mm] = [mm] 0\Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0$.
Und das kannst du dir leicht überlegen, denn du setzt einfach [mm] \lambda_{3} [/mm] bis [mm] \lambda_{n} [/mm] gleich 0 und kannst dann aus der Gleichung
[mm] \lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2} [/mm] = 0
folgern:
[mm] \lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2} [/mm] + [mm] 0*v_{3} [/mm] + ... + [mm] 0*v_{n} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*v_{3} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*v_{n} [/mm] = 0,
von welchem wir nach Voraussetzung wissen, dass dann auch [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0 folgt.
> Wenn n Vekoren paarweise linear unabhängig sind, dann
> müssen sie nicht zwangsläufig linear unabhängig sein.
Auch richtig. Gegenbeispiel für diese Annahme:
[mm] \vektor{1\\0},\vektor{0\\1},\vektor{1\\1}
[/mm]
sind jeweils paarweise linear unabhängig, aber nicht "gesamt".
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Jo.Hannes |
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!
Grüße
Johannes
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