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| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und u, v, w [mm] \in [/mm] V seien linear unabhängig. Begründe oder widerlege:
Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig. |
Hallo Community,
meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3 Vektoren nicht konstruieren.
Aber wenn die Dimension mind. 4 ist, dann gilt die zweite Aussage, weil:
Vorraussetzung: u, v, w linear unabhängig
<=> 0 = [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_2*v [/mm] + [mm] x_3*w [/mm] nur lösbar mit [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] = 0
<=>
- [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] = [mm] x_1*u
[/mm]
- [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_3*w [/mm] = [mm] x_2*v
[/mm]
- [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] = [mm] x_3*w
[/mm]
=> Jetzt der etwas unkonventionelle Schritt, man setzt die Gleichung in sich selbst ein.
0 = - [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] - [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] | *-1
0 = [mm] x_3*w [/mm] + [mm] x_2*v [/mm] + [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_3*w [/mm] + [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_2*v
[/mm]
<=> mit der Vorraussetzung ist gegeben, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
0 = x(u+v) + x(v+w) + x(u+w)
Kann man so vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] und u, v, w [mm]\in[/mm] V seien linear
> unabhängig. Begründe oder widerlege:
> Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig.
> Hallo Community,
>
> meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear
> unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal
> mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3
> Vektoren nicht konstruieren.
Unfug ! Nimm für u,v,w die 3 Einheitsvektoren des [mm] \IR^3. [/mm] Die sind lin. unabhängig , aber dim [mm] \IR^3=3 \ne [/mm] 4.
> Aber wenn die Dimension mind. 4 ist, dann gilt die zweite
> Aussage, weil:
>
> Vorraussetzung: u, v, w linear unabhängig
> <=> 0 = [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_2*v[/mm] + [mm]x_3*w[/mm] nur lösbar mit [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]
> = 0
> <=>
> - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] = [mm]x_1*u[/mm]
> - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_3*w[/mm] = [mm]x_2*v[/mm]
> - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] = [mm]x_3*w[/mm]
>
> => Jetzt der etwas unkonventionelle Schritt, man setzt die
> Gleichung in sich selbst ein.
>
> 0 = - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_2*v[/mm]
> | *-1
> 0 = [mm]x_3*w[/mm] + [mm]x_2*v[/mm] + [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_3*w[/mm] + [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_2*v[/mm]
>
> <=> mit der Vorraussetzung ist gegeben, dass [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] =
> [mm]x_3[/mm] = 0
>
> 0 = x(u+v) + x(v+w) + x(u+w)
>
> Kann man so vorgehen?
Nein. Obiges ist völliger Murks.
Warum machst Du es nicht auf die naheliegendste Weise:
Zeige: aus [mm] x_2,x_2,x_3 \in \IR [/mm] und
[mm] $0=x_1(u+v)+x_2(v+w)+x_3(u+w)$
[/mm]
folgt: [mm] x_1=x_2=x_3=0.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 21.11.2011 | | Autor: | oktollber |
> > Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] und u, v, w [mm]\in[/mm] V seien linear
> > unabhängig. Begründe oder widerlege:
> > Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig.
> > Hallo Community,
> >
> > meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear
> > unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal
> > mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3
> > Vektoren nicht konstruieren.
>
> Unfug ! Nimm für u,v,w die 3 Einheitsvektoren des [mm]\IR^3.[/mm]
> Die sind lin. unabhängig , aber dim [mm]\IR^3=3 \ne[/mm] 4.
>
Sorry, da mein Kopf wieder schneller als die Finger. Ich meinte damit, dass ich aus [mm] \IR^2 [/mm] keine 3 linear unabhängigen Vektoren finde.
>
> Warum machst Du es nicht auf die naheliegendste Weise:
>
> Zeige: aus [mm]x_2,x_2,x_3 \in \IR[/mm] und
>
> [mm]0=x_1(u+v)+x_2(v+w)+x_3(u+w)[/mm]
>
> folgt: [mm]x_1=x_2=x_3=0.[/mm]
>
> FRED
>
Dankte, ich weiß auch nicht was mich da geritten hat...
Ich glaube die Nacht war einfach zu lang und ich kann
keine Formeln mehr sehen.
mfg
oktollber
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Schönen guten Abend!
Meine Vorraussetzung ist nach Aufgabenstellung
[mm] \lambda_1 [/mm] u + [mm] \lambda_2 [/mm] v + [mm] \lambda_3 [/mm] w = 0
Also [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
So [mm] x_1,x_2,x_3 \in \IR
[/mm]
Zeige aus [mm] x_1(u+v) [/mm] + [mm] x_2(v+w) [/mm] + [mm] x_3(u+w) [/mm] = 0
=> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] x_1(u+v) [/mm] + [mm] x_2(v+w) [/mm] + [mm] x_3(u+w) [/mm] = 0
[mm] \gdw x_1 [/mm] u + [mm] x_1 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] w + [mm] x_3 [/mm] u + [mm] x_3 [/mm] w = 0
Umgestellt:
[mm] x_1 [/mm] u + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_3 [/mm] w + [mm] x_1 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] w + [mm] x_3 [/mm] u = 0
Und [mm] x_1 [/mm] u + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_3 [/mm] w nach Vorraussetzung null sein
Daraus folgt [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
Macht das Sinn?
Vielen Dank
lg Balodil
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Hallo Balodil,
> Schönen guten Abend!
>
> Meine Vorraussetzung ist nach Aufgabenstellung
>
> [mm]\lambda_1[/mm] u + [mm]\lambda_2[/mm] v + [mm]\lambda_3[/mm] w = 0
>
> Also [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>
> So [mm]x_1,x_2,x_3 \in \IR[/mm]
> Zeige aus [mm]x_1(u+v)[/mm] + [mm]x_2(v+w)[/mm] +
> [mm]x_3(u+w)[/mm] = 0
> => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>
> [mm]x_1(u+v)[/mm] + [mm]x_2(v+w)[/mm] + [mm]x_3(u+w)[/mm] = 0
> [mm]\gdw x_1[/mm] u + [mm]x_1[/mm] v + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_2[/mm] w + [mm]x_3[/mm] u + [mm]x_3[/mm] w = 0
>
> Umgestellt:
> [mm]x_1[/mm] u + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_3[/mm] w + [mm]x_1[/mm] v + [mm]x_2[/mm] w + [mm]x_3[/mm] u = 0
>
> Und [mm]x_1[/mm] u + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_3[/mm] w nach Vorraussetzung null sein
> Daraus folgt [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>
> Macht das Sinn?
>
Nein, das macht kein Sinn.
Führe die Gleichung
[mm]x_1(u+v) + x_2(v+w) + x_3(u+w) = 0 [/mm]
zurück auf
[mm]\lambda_{1}*u+\lambda_{2}*v+\lambda_{3}*w = 0 [/mm]
Dann weißt Du, aufgrund der linearen Unabhängkeit, daß [mm]\lambda_{i}=0, \ i=1,2,3[/mm]
Das ergibt dann ein Gleichungssystem für [mm]x_{k}, \ k=1,2,3[/mm]
Bestimme die Lösungen dieses Gleichungssystems.
> Vielen Dank
> lg Balodil
Gruss
MathPower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Balodil |
okay ich habe dann u,v,w ausgeklammert:
[mm] u(x_1 [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + [mm] v(x_2 [/mm] + [mm] x_1) [/mm] + [mm] w(x_3 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] = 0
Dann wäre
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
=> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
Macht das mehr Sinn? :)
Vielen Dank
lg Balodil
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Hallo Balodil,
> okay ich habe dann u,v,w ausgeklammert:
>
> [mm]u(x_1[/mm] + [mm]x_3)[/mm] + [mm]v(x_2[/mm] + [mm]x_1)[/mm] + [mm]w(x_3[/mm] + [mm]x_2)[/mm] = 0
>
> Dann wäre
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> [mm]x_3[/mm] + [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>
> => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>
> Macht das mehr Sinn? :)
>
Ja, das macht mehr Sinn. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank
> lg Balodil
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Super vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
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