Lineare Unabhängigkeit über Q < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Weisen sie nach, dass 1, ∛2, ∛4 lineaer unabhänig über Q sind. |
Hallo Gemeinde,
ich würde gerne wissen,wie man das exakt zeigt.
Ich weiß bereits,wie man zeigt, dass 1 und ∛2 lin. unabhänig über Q sind,da ∛2 nicht rational ist. Analog 1 und ∛4.
Wie verfahre ich nun weiter?
Wenn ich annehme, dass es a,b,c E Q ?
a * 1 + b* ∛2 + c* ∛4 = 0 zu zeigen: a,b,c = 0
Beweis indirekt:
Annahme: c ≠ 0
<=> 0* 1 +b* ∛2 + c* ∛4 = 0
<=> ∛4 = -b*∛2 / c Element Q
∛4 nicht Element Q...
so vielleicht?! und weiter?
Vielen Dank
fragemax12
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Fr 31.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch zeigen, dass ∛4 , ∛2 lin unabhaengig sind.
dazu benutze dass ∛2*∛2=∛4
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:58 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Du musst doch zeigen, dass ∛4 , ∛2 lin unabhaengig
> sind.
> dazu benutze dass ∛2*∛2=∛4
Etwas ausfuehrlicher/weiterfuehrender:
setze [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[3]{2}$. [/mm] Dass $1, [mm] \alpha, \alpha^2$ [/mm] nicht linear unabhaengig sind bedeutet doch gerade, dass es $a, b, c [mm] \in \IQ$, [/mm] nicht alle 0, gibt mit $a + b [mm] \alpha [/mm] + c [mm] \alpha^2 [/mm] = 0$. Es gibt also ein Polynom $f [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] ungleich dem Nullpolynom vom Grad $< 3$ mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$.
Die Aufgabe bedeutet also, anders aufgeschrieben: zeige, dass es kein Polynom vom Grad $< 3$ gibt (ausser dem Nullpolynom), welches [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat.
Dazu: betrachte $g := [mm] x^3 [/mm] - 2 [mm] \in \IQ[x]$; [/mm] es gilt [mm] $g(\alpha) [/mm] = 0$ und $g$ ist vom Grad 3. Wenn es ein solches $f [mm] \neq [/mm] 0$ gaebe, ist entweder [mm] $\deg [/mm] f =1$ oder du kannst mit Divison mit Rest ein Polynom [mm] $\hat{f}$ [/mm] von Grad 1 finden mit [mm] $\hat{f}(\alpha) [/mm] = 0$. In beiden Faellen folgt aber [mm] $\alpha \in \IQ$. [/mm] Kann das sein?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fragemax12 |
ok,vielen dank euch beiden für die lösungsvorschläge.
da ich dieses we auswärts war, konnte ich nicht auf meinen rechner zugreifen.
ich werde morgen mir gedanken über eure tipps machen.
Danke und gute nacht
fragemax12
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