Lineare Unabhänigigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:43 Di 14.03.2006 | | Autor: | Fruchtsaft |
| Aufgabe 1 | | Sei [mm]A:= \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]. Untersuchen Sie, ob A ein Erzeugendensystem des [mm] \IR³ [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm]A:= \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm].
Wenn es sich um kein Erzeugendensystem handelt, ergänzen sie es zu einem. |
Hallo,
mir ist soweit klar, dass es sich um kein Erzeugendensystem handelt, da A linear abhängig ist und [mm]Lin { \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 3}} \not= 3[/mm].
Mein Problematik liegt vielmehr in der 2.Aufgabe.
Zunächst vorneweg, wieso ist [mm]Lin { \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ -3 \\ -3}}[/mm] auch linear abhängig?
Und wieso muss ich das Erzeungendensystem laut Lsg um den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}[/mm] erweitern damit es sich um ein Erzeugendensystem des [mm] \IR³[/mm] handelt?
Danke für die Unterstützung
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 14.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
EDIT: nächste mal bitte ins richtige Forum (Uni-LA)
> mir ist soweit klar, dass es sich um kein Erzeugendensystem
> handelt, da A linear abhängig ist und [mm]Lin { \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 3}} \not= 3[/mm].
und wie bist du darauf gekommen?
(daran könnte man evtl recht schnell erklären, wie man auch die zweite Aufgabe löst...)
>
> Mein Problematik liegt vielmehr in der 2.Aufgabe.
> Zunächst vorneweg, wieso ist [mm]Lin { \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ -3 \\ -3}}[/mm]
> auch linear abhängig?
Was hat das denn jetzt damit zu tun?
jedenfalls sieht man leicht, dass [mm] $v_3=-(v_1+v_2)$
[/mm]
> Und wieso muss ich das Erzeungendensystem laut Lsg um den
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}[/mm] erweitern damit es sich um ein
> Erzeugendensystem des [mm]\IR³[/mm] handelt?
Naja, der Vektor ist absolut nicht eindeutig bestimmt !
Wenn du wissen willst, warum die Lösung stimmt, solltest du den Lösungsweg auch posten !
Es fallen mir spontan mal zwei (einfache) Möglichkeiten ein, sowas zu lösen und da kommt sicher immer was anderes raus.
Um allerdings zu überprüfen, ob die vier Vektoren nun ein Erzeugendensystem sind, kannst du dein nicht-genanntes Verfahren der ersten Aufage nutzen.
Schreib doch einfach mal ein bischen mehr dazu - so ist das für uns nur Raterei - woher sollen wir denn wissen, womit du ein Problem hast, wenn du noch nicht mal schreibst, worauf du dich beziehst.
viele Grüße
DaMenge
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> EDIT: nächste mal bitte ins richtige Forum (Uni-LA)
Ok...
> und wie bist du darauf gekommen?
> (daran könnte man evtl recht schnell erklären, wie man
> auch die zweite Aufgabe löst...)
Kann ich gerne für dich posten. Für [mm]x_3(\vektor{2 \\ 1 \\ 3})=1[/mm] gilt [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}= 2* \vektor{1 \\ 2 \\ 3}-3 * \vektor{0 \\ 1 \\ 1}}[/mm]
> Was hat das denn jetzt damit zu tun?
> jedenfalls sieht man leicht, dass [mm]v_3=-(v_1+v_2)[/mm]
Ich habe ja geschrieben vorneweg.. Also, wie unschwer zu erkennen, handelt es sich um eine einfache Zwischenfrage, da für mich die lineare Abhängigkeit weniger leicht zu erkennen war.
> Naja, der Vektor ist absolut nicht eindeutig bestimmt !
> Wenn du wissen willst, warum die Lösung stimmt, solltest
> du den Lösungsweg auch posten !
Würde ich den Lösungsweg haben, könnte ich ihn auch posten bzw hätte mir die ganze Frage sparen können.
Dann stelle ich halt die Frage so: Wie kann ich das Gleichungssystem zu einem Erzeugendensystem erweitern?
> Es fallen mir spontan mal zwei (einfache) Möglichkeiten
> ein, sowas zu lösen und da kommt sicher immer was anderes
> raus.
Ein erläuterte Möglichkeit hätte vielleicht weitergeholfen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Di 14.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Kann ich gerne für dich posten. Für [mm]x_3=1[/mm] gilt [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}= 2* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}-3 * \vektor{-1 \\ -3 \\ -3}}[/mm]
hm, ich kann deinen Gedankengang leider nicht nach voll ziehen.
Was versuchst du denn hier?
Warum setzt du [mm] x_3=1 [/mm] (was ist überhaupt [mm] x_3 [/mm] bei dir ?)
und wieso soll diese Gleichung gelten? (evtl. Copy&Paste fehler drinne?)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Di 14.03.2006 | | Autor: | Fruchtsaft |
Upps, Sorry..
Daraus wäre ich auch nicht schlau geworden.. 
Ist korrigiert..
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Hallo,
also grundsätzlich kann man folgendermaßen an solche Aufgaben gehen: Wenn mehrere Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] linear unabhängig sind, dann gibt es nur die triviale Lösung für die Gleichung [mm]\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_3x_3[/mm]. Entsprechend, wenn sie linear abhängig sind, dann gibt es eine weitere Lösung als die triviale.
Bedenke: eine Basis ist ein Erzeugendensystem minimaler Größe.
Wenn Du einen [mm]n[/mm]-dimensionalen Vektorraum über einem Körper [mm]K[/mm] durch Basisvektoren darstellst, dann hast du eine Darstellung isomorph zu [mm]K^n[/mm]. Das heißt insbesondere, dass Du mindestens [mm]n[/mm] verschiedene linear unabhängige Vektoren in deinem Erzeugendensystem benötigst, um [mm]K^n[/mm] aufzuspannen.
Also solche Aufgaben kann man folgendermaßen lösen:
1) Anzahl maximal linear unabhängiger Vektoren?
2) Dimension gleich mit 1)? -> Erzeugendensystem
Wenn Du das ganze zu einem Erzeugendensystem erweitern sollst, mußt Du einen weiteren linear unabhängigen Vektor hinzufügen. Dazu kannst Du ein Gleichungssystem aufstellen über das Skalarprodukt oder die Bedingung für lineare Unabhängigkeit.
--
Gruß
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Di 14.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich möchte auch noch kurz vorher zusammenfassen:
Du hast also bei der ersten Aufgabe gesehen, dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt (durch deine korrigierte Gleichung) und fragst nun nach einem systematischen Vorgehen zum Ergänzen zu einem Erzeugendensystem, richtig ?!?
Also den theoretischen Hintergrund wurde dir ja schon in der anderen Antwort gegeben.
Hier mal ein praktisches Vorgehen:
Schreibe deine Vektoren ALS ZEILEN in eine Matrix und führe diese dann mittels ZEILENumformungen auf Zeilenstufenform (also normalen Gauß anwenden), dann sieht man den Rang.
[Du hast mit deiner Gleichung ja schon automatisch die dritte Zeile auf 0 gesetzt und der Rest wäre auch schon in Zeilenstufenform danach! ]
Wenn der Rang kleiner als n ist, gibt es (mindestens) eine Zeile j, so dass [mm] $a_{jj}=0$ [/mm] (in Zeilenstufenform) ist.
dann erweitere man die Matrix um den j-ten Einheitsvektor (als ZEILE), dies mache man solange, bis man vollen Rang n hat.
alle Einheitsvektoren, die man hier erweitert hat, sind dann eine Erweiterung zu einem Erzeugendensystem !
In deinem Fall hätte man also recht schnell den dritten Einheitsvektor gefunden...
(btw sieht man an der letzten Zeilenstufenform auch eine Basis...)
mfg
DaMenge
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Danke euch beiden für die Erläuterungen.
Nun versuche ich das ganze mal umzusetzen, anhand der gegebenen Aufgabe.
Meine Matrix müsste, wenn ich DaMenge richtig verstanden habe, wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
Nach Gauss würde ich folgende Umformung erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Rang der Matrix ist 2. Und 2 < n, also gibt es mindesten 1 weiter Zeile um den Rang n =3 zu erhalten.
Nun soll ich ja die Matrix erweitern.. Hier denke ich noch Schwierigkeiten zu haben.
Nach welchem Muster gehe ich denn jetzt vor, um meinen letzten Vektor zu erhalten?
Kann mr jemand dne Kontext "gibt es (mindestens) eine Zeile j, so dass $ [mm] a_{jj}=0 [/mm] $ (in Zeilenstufenform) ist. " praktisch an einem Beispiel zeigen..
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 14.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja - soweit ist das genau richtig !
nun siehst du in der Matrix in Zeilenstufenform, dass die dritte Zeile die erste (und hier auch die einzige) Zeile ist, wo auf dem Diagonalelement eine 0 steht.
Also erweitern wir die Matrix nun mit dem dritten Einheitsvektor als ZEILE, denn damit erhalten wir eine 1 an der Stelle, wo noch ein Eintrag fehlt:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $ in Zeilenstufenform : $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
nun hat die Matrix vollen Rang (besser : maximalen Rang) und wir sind fertig, d.h. wenn man zu der Ausgangsmenge von Vektoren noch den dritten Einheitsvektor hinzufügt, dann erhält man ein Erzeugendensystem.
viele Grüße
DaMenge
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Das heisst, ich habe das Gleichungssystem um den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] erweitert, um ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3[/mm] zu erhalten.
Die ursprüngliche Musterlsg, wo es heisst das um den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] erweitert wurde, ist augenscheinlich eine weitere Lsg, oder?
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Hallo,
genau. Das kann man auch einfach über die gleiche Methode (per Gauss) nachvollziehen.
Man kann sich auch überlegen, dass man ja nur drei linear-unabhängige Vektoren braucht. Wie genau diese aussehen ist irrelevant, solange sie linear-unabhängig sind. Es müssen ja nicht immer orthonormierte Vektoren sein.
Es gehen auch noch andere Vektoren. Zum Beispiel:
[mm]\vek{1\\1\\1}[/mm]
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 19.03.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute, habe mir gerade den thread durchgelesen, der meiner meiner meinung nach recht gut ist :)
Vielleicht habt ihr ja noch Zeit eine kleine Frage zu beantworten und zwar Was ist wenn zB ein Erzeugendensystem einer explizit angegeben Menge gesucht ist? D.h. Es wurden zB 50 Vektoren gegeben und man sucht nun ein erzeugendensystem (oder sogar Basis oder Dimension). Habt ihr da auch einen Lösungsweg für?
Ich glaube wenn man die Dimension der Basis dieser Menge kenne würde und die wäre n, könnten man einfach n linear unabhängige Vektoren aus dieser Menge wählen und hätte somit eine Basis und somit vor allem ein Erzeugendensystem.
Hätte man eine Basis wäre man fertig bzw man kann ihn einfach um einen Vektor aus dieser Menge erweitern, damit man NUR ein erzeugendensystem hat und nicht eine Basis oder?
Wäre nett, wenn sich das hier jemand mal angucken würde =)
Gruß an alle... Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Vielleicht habt ihr ja noch Zeit eine kleine Frage zu
> beantworten und zwar Was ist wenn zB ein Erzeugendensystem
> einer explizit angegeben Menge gesucht ist? D.h. Es wurden
> zB 50 Vektoren gegeben und man sucht nun ein
> erzeugendensystem (oder sogar Basis oder Dimension). Habt
> ihr da auch einen Lösungsweg für?
also wenn 50 Vektoren gegeben sind, die eine Menge erzeugen, dann sind diese 50 Vektoren doch auch ein Erzeugendensystem.
Wenn man daraus dann ein minimales Erzeugendensystem (also eine Basis) machen will, dann muss man die Vektoren als Zeilen nur durch den Gauß-algo jagen (wie hier und im anderen Thread beschrieben wurde) und erhält dann eine Basis durch die Zeilenstufenform.
(wenn alle Vektoren aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] sind, kann man natürlich nach n Zeilen in der Zeilenstufenform aufhören, wenn n<<50)
>
> Ich glaube wenn man die Dimension der Basis dieser Menge
> kenne würde und die wäre n, könnten man einfach n linear
> unabhängige Vektoren aus dieser Menge wählen und hätte
> somit eine Basis und somit vor allem ein
> Erzeugendensystem.
Ähm, man kann dann n wählen, das ist richtig, ABER das ist alles andere als einfach oder klar ersichtlich, welche man wählen kann.
> Hätte man eine Basis wäre man fertig bzw man kann ihn
> einfach um einen Vektor aus dieser Menge erweitern, damit
> man NUR ein erzeugendensystem hat und nicht eine Basis
> oder?
Richtig, aber wie schon gesagt : für ein Erzeugendensystem nimm einfach alle Vektoren..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 So 19.03.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke der weg ist mir auch durch den kopf gegangen, nur dachte ich, dass es vielleicht viel einfacher geht und mich erst gar nicht getraut das zu schreiben +g+
auf jeden fall vielen dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
leider habe ich nicht genau dazugeschrieben, dass die 50vektoren eine abgeschlossene menge sind. Also man hat einfach eine menge M der man explizit 50Vektoren zu ordnet. Kann man für diese Menge überhaupt erzeugendensystem Basis etc finden, da die Vektoren nicht notwendigerweise in einem Zusammenhang zueinander stehen müssen..
Gruß Ari
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Hallo,
ein erzeugenden System "erzeugt" einen Vektorraum, bzw. man kann den kompletten Vektorenraum mit diesen "erzeugen". Wenn deine 50 Vektoren einen (Unter-)Vektorraum bilden, dann ist dies offensichtlich möglich. Wenn der Grundkörper deines Vektorraumes gerade [mm] $\IR$ [/mm] ist, dann ist es offensichtlich unmöglich, da jeder $n$-dimensionale Vektorraum mit [mm] $0
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal für die antwort kretschmer. Ich habe gar nicht bedacht, dass ich noch zeigen müsste, das die 50 Vekotren einen Vekorraum bilden (also auch einen Untervektorraum). Es ist demnach also auch möglich Mengen von Vektoren anzugeben, die keine Vektorraum bilden oder? als was bezeichnet man dieser vektoren dann?
danke im voraus =) Gruß Ari
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Hallo AriR,
ich würde so etwas als eine Menge von Vektoren bezeichnen 
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
ich will jetzt keine erbsen zählen aber sind vekoren nicht immer element aus einem vekorraum? das würde hier ja nicht zutreffen oder?
so gesehen sind das aber schon vektoren aus dem [mm] \IR^n [/mm] aber der Körper K wäre demnach irgendwie eingeschränkt oder? irgendwie ist das ein komisches kapitel +g+
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Hallo,
also diese Menge von 50 Vektoren wäre eine Teilmenge eines Vektorraumes dann wohl.
Also der [mm] $\IR^n$ [/mm] ist ja wohl ein spezieller Vektorraum. Vektorräume sind aber viel allgemeiner definiert. Du kannst halt auch über [mm] $\IF_p^n$ [/mm] bilden, wobei $p$ eine Primzahl ist. Das wäre dann auch als Vektorraum auffassbar. Es wäre doch eine schöne Übungsaufgabe für Dich, einen Vektorraum mit 50 Elementen zu bestimmen oder zu widerlegen, dass es einen solchen gibt.
--
Gruß
Matthias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:26 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
hehe dafür bin ich leider zu faul +g+
meine frage wurde glaub ich auch falsch verstande und zwar angenommen ich schreibe ich hier 50 "Vektoren" wie zB [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 5 \\ 3},\vektor{7 \\ 6 \\ 34 \\ 3} [/mm] etc etc.
sind das dann vektoren? oder was sind das genau für gebilde, denn diese 50vektoren werden den vekotrraumaxiomen ja wohl nicht gerecht +g+
danke wieder mal im voraus für eure mühe.. hoffe ich habe mich jetzt klar ausgedrückt :)
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 22.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> hehe dafür bin ich leider zu faul +g+
Muss ja jeder selber wissen, ob er schlau oder dumm sterben möchte ...
> meine frage wurde glaub ich auch falsch verstande und zwar
> angenommen ich schreibe ich hier 50 "Vektoren" wie zB
> [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 5 \\ 3},\vektor{7 \\ 6 \\ 34 \\ 3}[/mm] etc
> etc.
Was heisst denn "hinschreiben"? Das was da steht hat doch meist auch eine Bedeutung - wenn das Vektoren sein sollen, ist das aus dem Kontext klar, oder man schreibt es hinzu, aus welchem vektorraum das ist. Genauso könnte man dann auch fragen, was denn eigentlich 1 bedeutet, etc pp.
> sind das dann vektoren? oder was sind das genau für
> gebilde, denn diese 50vektoren werden den vekotrraumaxiomen
> ja wohl nicht gerecht +g+
Wie sollen einzelne Vektoren den vektorraum-Axiomen genügen? Das, was du sagst, ist wie: warum bilden diese Moleküle ein Auto? Ein einzelnes Molekül ist doch sicher kein Motor. Ich weiß nicht, worauf du hinauswillst.
> danke wieder mal im voraus für eure mühe.. hoffe ich habe
> mich jetzt klar ausgedrückt :)
Imo nein. Irgendwie fand ich das alles etwas wirr - worauf willst du denn hinaus?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> hehe dafür bin ich leider zu faul +g+
>
> meine frage wurde glaub ich auch falsch verstande und zwar
> angenommen ich schreibe ich hier 50 "Vektoren" wie zB
> [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 5 \\ 3},\vektor{7 \\ 6 \\ 34 \\ 3}[/mm] etc
> etc.
>
> sind das dann vektoren? oder was sind das genau für
> gebilde, denn diese 50vektoren werden den vekotrraumaxiomen
> ja wohl nicht gerecht +g+
>
> danke wieder mal im voraus für eure mühe.. hoffe ich habe
> mich jetzt klar ausgedrückt :)
Ich habe mir mal ein bisschen was in diesem Thread hier durchgelesen, und auch ich weiß nicht so ganz, worauf du hinausmöchtest. Evtl. stellst du mal eine ganz neue Frage, dann versuchen sich vielleicht auch mal ein paar andere Leute an einer Antwort (die in diesem Fall hier keine Lust haben, den ganzen Thread durchzulesen, nur um nachher festzustellen, dass du mehrere Themen ansprichst und am Ende keine mehr weiß, worum es geht...).
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
ok werde ich jetzt machen =)
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