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| Aufgabe | Betrachtet werde ein Molekül, das sich in einem elektrischen Feld
befindet. Jedes Atom im Molekül besteht aus einem positiv geladenen Kern
und einer negativ geladenen Elektronenwolke. Ohne die Einwirkung eines
elektrischen Feldes, falle der Schwerpunkt aller positiven Ladungen mit
dem aller negativen Ladungen zusammen. Unter dem Einfluß des Feldes
werden jedoch die positiven Ladungen in Richtung des Feldes und die
negativen Ladungen dazu entgegengesetzt verschoben; die beiden
Schwerpunkte werden getrennt. Der elektrische Zustand des Moleküls kann
dann durch zwei Ladungen -q und q repräsentiert werden, die durch den
dreidimensionalen Ortsvektor [mm] \textbf{P} [/mm] (von der negativen zur positiven Ladung)
verbunden werden. Diesen Vektor wird als das zugehörige Dipolmoment
bezeichnet. Experimente zeigen, dass zwischen dem elektrischen Feld
(ebenfalls ein dreidimensionaler Vektor) und dem Dipolmoment [mm] \textbf{P} [/mm] ein
Zusammenhang besteht, welcher durch eine lineare Abbildung gegeben ist.
Bei Experimenten an einem Molekül des Stoffes Linearium wurde der
folgende Zusammenhang gemessen:
Für das elektrische Feld [mm] E_{1}=\vektor{2\\0\\3} [/mm] wurde das Dipolmoment [mm] P_{1}=\vektor{2\\4\\5} [/mm] gemessen.
Für [mm] E_{2}=\vektor{-2\\0\\3} P_{2}=\vektor{-1\\2\\1}
[/mm]
Füe [mm] E_{3}=\vektor{2\\-3\\0} P_{3}=\vektor{3\\4\\-1} [/mm]
Wie lautet die Matrix A der linearen Abbildung. |
Guten Tag.
Obige Aufgabe würde ich gerne berechnen.
Folgende Informationen habe ich mir aus dem Text bisher erarbeiten können:
[mm] E_{i} [/mm] und [mm] P_{i} [/mm] stehen durch eine Abbildung in Verbindung.
Es gilt:
[mm] \Phi [/mm] : [mm] R^{3} \to R^{3} [/mm] mit [mm] \Phi(\textbf E_{i})=\textbf P_{i}
[/mm]
Mit [mm] \textbf E_{i}=\vektor{x_{1i}\\x_{2i}\\x_{3i}} [/mm] gilt
[mm] \Phi(\vektor{x_{1i}\\x_{2i}\\x_{3i}})=\vektor{a_{1}*x_{1i}+b_{1}*x_{2i}+c_{1}*x_{3i}\\a_{2}*x_{1i}+b_{2}*x_{2i}+c_{2}*x_{3i}\\a_{3}*x_{1i}+b_{3}*x_{2i}+c_{3}*x_{3i}}
[/mm]
Für ein weiteres Vorgehen müsste ich die [mm] a_{i}, b_{i}, c_{i} [/mm] über ein LGS lösen, oder?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachtet werde ein Molekül, das sich in einem
> elektrischen Feld
> befindet. Jedes Atom im Molekül besteht aus einem positiv
> geladenen Kern
> und einer negativ geladenen Elektronenwolke. Ohne die
> Einwirkung eines
> elektrischen Feldes, falle der Schwerpunkt aller positiven
> Ladungen mit
> dem aller negativen Ladungen zusammen. Unter dem Einfluß
> des Feldes
> werden jedoch die positiven Ladungen in Richtung des
> Feldes und die
> negativen Ladungen dazu entgegengesetzt verschoben; die
> beiden
> Schwerpunkte werden getrennt. Der elektrische Zustand des
> Moleküls kann
> dann durch zwei Ladungen -q und q repräsentiert werden,
> die durch den
> dreidimensionalen Ortsvektor [mm]\textbf{P}[/mm] (von der
> negativen zur positiven Ladung)
> verbunden werden. Diesen Vektor wird als das zugehörige
> Dipolmoment
> bezeichnet. Experimente zeigen, dass zwischen dem
> elektrischen Feld
> (ebenfalls ein dreidimensionaler Vektor) und dem
> Dipolmoment [mm]\textbf{P}[/mm] ein
> Zusammenhang besteht, welcher durch eine lineare Abbildung
> gegeben ist.
>
>
> Bei Experimenten an einem Molekül des Stoffes Linearium
> wurde der
> folgende Zusammenhang gemessen:
>
> Für das elektrische Feld [mm]E_{1}=\vektor{2\\0\\3}[/mm] wurde das
> Dipolmoment [mm]P_{1}=\vektor{2\\4\\5}[/mm] gemessen.
>
> Für [mm]E_{2}=\vektor{-2\\0\\3} P_{2}=\vektor{-1\\2\\1}[/mm]
>
> Füe [mm]E_{3}=\vektor{2\\-3\\0} P_{3}=\vektor{3\\4\\-1}[/mm]
>
> Wie lautet die Matrix A der linearen Abbildung.
... die Matrix gibt es nicht.
Ich nehme an, dass im [mm] \IR^3 [/mm] die übliche Standardbasis [mm] e_1,e_2,e_3 [/mm] zugrunde gelegt ist und Du die Abb.- Matrix bezüglich diese Basis bestimmen sollst.
Wir bestimmen mal die erste Spalte der gesuchten Matrix:
Es ist [mm] E_1-E_2=4e_1. [/mm] Damit ist
[mm] \phi(e_1)=\bruch{1}{4} \phi(E_1)-\bruch{1}{4}\phi(E_2)= \vektor{\bruch{3}{4}\\\bruch{1}{2}\\1}
[/mm]
[mm] \vektor{\bruch{3}{4}\\\bruch{1}{2}\\1} [/mm] ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Verfahre mit [mm] \phi(e_2) [/mm] und [mm] \phi(e_3) [/mm] genauso.
FRED
> Guten Tag.
>
> Obige Aufgabe würde ich gerne berechnen.
> Folgende Informationen habe ich mir aus dem Text bisher
> erarbeiten können:
>
> [mm]E_{i}[/mm] und [mm]P_{i}[/mm] stehen durch eine Abbildung in Verbindung.
>
> Es gilt:
> [mm]\Phi[/mm] : [mm]R^{3} \to R^{3}[/mm] mit [mm]\Phi(\textbf E_{i})=\textbf P_{i}[/mm]
>
> Mit [mm]\textbf E_{i}=\vektor{x_{1i}\\x_{2i}\\x_{3i}}[/mm] gilt
>
> [mm]\Phi(\vektor{x_{1i}\\x_{2i}\\x_{3i}})=\vektor{a_{1}*x_{1i}+b_{1}*x_{2i}+c_{1}*x_{3i}\\a_{2}*x_{1i}+b_{2}*x_{2i}+c_{2}*x_{3i}\\a_{3}*x_{1i}+b_{3}*x_{2i}+c_{3}*x_{3i}}[/mm]
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> Für ein weiteres Vorgehen müsste ich die [mm]a_{i}, b_{i}, c_{i}[/mm]
> über ein LGS lösen, oder?
>
> Grüße
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