Linearer Unabhänigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | 1. Zeigen Sie, [mm] dass(f_{n})n \varepsilon\IN \subset Abb(\IR,\IR) [/mm] definiert durch [mm] (f_{n}(x):=x^{n} [/mm] über [mm] \IR [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo zusammen!
Könnte mir noch mal jemand erklären wie ich bei solch einer Aufgabenstellung allgemein ran gehen muss.
Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich zeigen, dass:
[mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0 [/mm] ist.
Also muss [mm] a_{0} [/mm] schon mal =0 sein, aber wie folgt hier dass auch [mm] a_{1}=...=a_{n}=0 [/mm] ist. Es kann doch auch [mm] x=...=x^{n}=0 [/mm] sein.
Bin ich total auf dem Holzweg?
Danke schon mal an alle...
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> 1. Zeigen Sie, [mm]dass(f_{n})n \varepsilon\IN \subset Abb(\IR,\IR)[/mm]
> definiert durch [mm](f_{n}(x):=x^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm] linear unabhängig
> ist.
> Hallo zusammen!
>
> Könnte mir noch mal jemand erklären wie ich bei solch einer
> Aufgabenstellung allgemein ran gehen muss.
> Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich zeigen, dass:
>
> [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist.
>
Nein, das kann man so nicht machen.
Lineare Unabhängigkeit bedeutet vielmehr:
Falls [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist,
dann sind [mm] $a_1=...=a_n=0$.
[/mm]
Vielleicht zeigen wir das nun per Induktion, das ist am sichersten.
Das einfachste Polynom, was wir uns vorstellen können, ist eins vom Grad 0, d.h. von der Form [mm] $a_0\in [/mm] K$.
Dann ist, falls [mm] $a_0=0$ [/mm] trivialerweise [mm] $a_0=0$.
[/mm]
Das ist unsere Induktionsverankerung.
Gelte nun:
Falls [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist, so seien [mm] $a_0=...=a_n=0$.
[/mm]
Wenn wir nun ein haben [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}=0[/mm], so folgt leicht, daß [mm] $a_0=0$.
[/mm]
Dann können wir aber $x$ ausklammern und haben:
[mm]x(a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n})=0[/mm], da wir uns aber in einem Körper befinden und dieser nach Definition nullteilerfrei ist, so erhalten wir $x=0$ oder [mm]a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0[/mm].
Da wir aber für alle $x$ 0 haben wollen, so muß [mm]a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0[/mm] gelten, nach Induktionsvoraussetzung ist dann aber auch [mm] $a_1=...=a_{n+1}=0$,
[/mm]
es folgt [mm] $a_0=...=a_{n+1}=0$, [/mm] das ist aber die Aussage für $n+1$, womit wir fertig wären.
Gruß,
Christian
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Danke schon mal so weit, ich verstehe jetzt nur noch nicht ganz dein Argument des Nullteilerfreien Körpers. Ich weiß dass ein Körper Nullteilerfrei ist, aber wieso folg daraus , dass x=0 oder [mm] a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0 [/mm] sein muss. (Ich kenn das aus dem Satz vom Nullprodukt wenn a*b=0, dann entweder a=0 oder b=0 (oder beide))
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, aber das ist doch genau das Argument.
Mit $a:=x$ und $b:= [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] \ldost$
[/mm]
gilt:
$a [mm] \cdot [/mm] b=0$,
also wegen der Nullteilerfreiheit: $a=0$ oder $b=0$ (das "oder" ist mathematisch immer nicht-ausschließend zu verstehen).
Das, was du mit "Nullprodukt" meinst, ist genau die Nullteilerfreiheit.
Wo also liegt jetzt dein Problem?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 10.01.2006 | | Autor: | F.Michael |
Hi Steafan!!!
Hatte kein echtes Problem mehr. Hatte nur denn Zusammenhang mit der Nullteilerfremdheit noch nicht verstanden.
Danke an euch!!!
MFG Michael
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