Lineares Gleichungssystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Huch |
Hallo,
das Gleichungssystem
[mm]3x_1-2x_2-2x_3=2[/mm]
[mm]-x_1+3x_2+2x_3=1[/mm]
hat nach meiner Berechnung die Lösung:
[mm]L=\left\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}[/mm]
In dem zum Schulbuch gehörenden Lösungsbuch steht als Lösung:
[mm]L=\left\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=2+2t;x_2=-1-4t;x_3=3+7t;t\in\IR\right\}[/mm]
Die Kontrolle zeigt, dass beide Lösungen (ich hoffe auch meine) richtig sind.
Frage 1: Warum wird die Lösung nochmal in eine ganzzahlige Lösung gewandelt?
Frage 2 (die viel wichtigere): Wie kommen die Autoren des Lösungsbuches auf die merkwürdige Lösung [mm]x_3=3+7t[/mm] ? Durch reines Herumprobieren mit dem "scharfen Blick" oder durch eine Rechenvorschrift? Einen Lösungsansatz habe ich hierzu nicht gefunden.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo,
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> das Gleichungssystem
>
> [mm]3x_1-2x_2-2x_3=2[/mm]
> [mm]-x_1+3x_2+2x_3=1[/mm]
>
> hat nach meiner Berechnung die Lösung:
>
> [mm]L=\left\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}[/mm]
>
> In dem zum Schulbuch gehörenden Lösungsbuch steht als
> Lösung:
>
> [mm]L=\left\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=2+2t;x_2=-1-4t;x_3=3+7t;t\in\IR\right\}[/mm]
>
> Die Kontrolle zeigt, dass beide Lösungen (ich hoffe auch
> meine) richtig sind.
>
> Frage 1: Warum wird die Lösung nochmal in eine ganzzahlige
> Lösung gewandelt?
Meiner Ansicht nach hat das nur ästhetische Gründe, und das Rechnen mit Brüchen ist ja auch fehleranfällig(er)  !
> Frage 2 (die viel wichtigere): Wie kommen die Autoren des
> Lösungsbuches auf die merkwürdige Lösung [mm]x_3=3+7t[/mm] ? Durch
> reines Herumprobieren mit dem "scharfen Blick" oder durch
> eine Rechenvorschrift? Einen Lösungsansatz habe ich hierzu
> nicht gefunden.
Naja, schauen wir doch einfach mal, wie man deine Lösungsmenge umschreiben kann:
[mm]\IL=\left\{(x_1;x_2;x_3)|\;x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}
=\left\{\left(\frac{8}{7};\frac{5}{7};0\right)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right);\;t \in \IR\right\}[/mm]
Das ist eine Geradengleichung mit dem Stützpunkt ("Stützvektor") [mm] $\left(\frac{8}{7};\frac{5}{7};0\right)$, [/mm] der auf der Geraden liegt. Setzen wir nun in der Gleichung:
[mm](g_1;g_2;g_3)=\left(\frac{8}{7};\frac{5}{7};0\right)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right)[/mm] den Wert $t=3$ ein, so erhalten wir den Punkt:
[m](2;-1;3)[/m], den wir ebenfalls als Stützpunkt ("Stützvektor") wählen können, da er auch auf der Geraden liegt. Es gilt also:
[mm]\IL=\left\{(x_1;x_2;x_3)|\;x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}
=\left\{\left(\frac{8}{7};\frac{5}{7};0\right)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right);\;t \in \IR\right\}
=\left\{(2;-1;3)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right);\;t \in \IR\right\}[/mm]
Die "Gerade [mm] $\IL$" [/mm] ändert sich aber nicht, wenn wir deren "Richtungsvektor" mit einer Zahl [mm] $\not=0$ [/mm] multiplizieren. Um die Brüche in dem Vektor zu beseitigen, multiplizieren wir also den "Richtungsvekor" [mm] $\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right)$ [/mm] mit der Zahl $7$:
[mm]7*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right)=(2;-4;7)[/mm] und nehmen nun dieses als "Richtungsvektor" der "Geraden [mm] $\IL$".
[/mm]
Daher folgt:
[mm]\IL=\left\{(x_1;x_2;x_3)|\;x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}
=\left\{\left(\frac{8}{7};\frac{5}{7};0\right)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right);\;t \in \IR\right\}[/mm]
[mm]=\left\{(2;-1;3)+t*\left(\frac{2}{7};-\frac{4}{7};1\right);\;t \in \IR\right\}
=\left\{(2;-1;3)+t*(2;-4;7);\;t \in \IR\right\}[/mm]
[mm]=\left\{(2+2*t;-1-4*t;3+7*t);\;t \in \IR\right\}
=\left\{(x_1;x_2;x_3)|\;x_1=2+2t,\; x_2=-1-4t,\;x_3=3+7t;\;t \in \IR\right\}[/mm]
Also sind die Lösungsmengen identisch.
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Huch |
Hallo Marcel,
vielen Dank für den sehr guten und ausführlichen Lösungsweg! Ich habe damit allerdings ein Problem. Wenn meine Nachhilfeschüler die "Linearen Gleichungssysteme" in der Schule lernen, haben sie in der Regel noch keine Ahnung von Stütz- und Richtungsvektoren.
Falls also in einer Mathematikarbeit die Aufgabe lautet:
Stellen Sie
[mm]L=\left\{(x_1;x_2;x_3)|x_1=\bruch{8}{7}+\bruch{2}{7}t;x_2=\bruch{5}{7}-\bruch{4}{7}t;x_3=t;t\in\IR\right\}[/mm] ohne Brüche dar, haben die Schüler eine fast unlösbare Aufgabe vor sich.
Nach einigem Hin und Her werden sie feststellen, dass bei Einsetzen von [mm]t=3[/mm] die Lösung wie folgt lautet:
[mm]x_1=2; x_2=-1; x_3=3[/mm]
...aber wie weiter? An diesem Punkt setzt meistens der große Verdruß auf die Mathematik ein. Ich gestehe, dass ich es bis jetzt auch noch nicht erklären konnte, deshalb nochmals Danke!
Gibt es einen Königsweg, wenn man noch keine Vektorrechnung kennt, oder ist es zwingend erforderlich es mit Hilfe der Vektordarstellung zu erklären?
Viele Grüße und nochmals herzlichen Dank für die Mühe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mo 09.05.2005 | | Autor: | TimBuktu |
Hallo
Um einen vernünftigen Stützvektor zu erhalten macht man bei der Vektrorrechnung ja auch nichts anderes als einfach mal die 3 einzusetzen. Ich denke man braucht einfach ein geschultes Auge, um hier eine Lösung zu finden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Huch!
Ich muss gestehen, dass ich auch nach einem Blick in mein altes Schulbuch nicht herausgefunden habe, wie man es umgehen könnte. Was man natürlich machen kann, ist, denn Satz aus meinem alten Schulbuch anzuwenden:
Besitzt ein inhomogenes LGS eine Lösung [mm] $(x_1^{\star};\;x_2^{\star};\;\ldots;\;x_n^{\star})$, [/mm] so erhält man alle seine Lösungen, indem man zu jeder Lösung des zugehörigen homogenen LGS die Lösung [mm] $(x_1^{\star};\;x_2^{\star};\;\ldots;\;x_n^{\star})$ [/mm] addiert.
Wenn du aber diesen Satz einfach mal interpretierst, läuft das auf das gleiche hinaus wie das, was ich vorher gemacht hast. Es ist nur anders formuliert!
Ansonsten wäre es vielleicht auch für andere hilfreich, wenn du einige Angaben (stichwortartig) machen könntest, auf welchem Stand deine Nachhilfeschüler meistens sind, wenn sie derartige Aufgaben bekommen. So auf die Schnelle fällt mir momentan leider nichts anderes ein ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Viele Grüße,
Marcel
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Hi, Huch,
ich weiß nicht, ob's in den Antworten zu Deiner Frage schon erwähnt wurde, aber:
Bei der Lösungsmenge zu Deinem Gleichungssystem handelt es sich ja um eine GERADE im [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Eine solche gibt man oft in sog. "Parameterform" an, also:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] t*\vec{u},
[/mm]
wobei [mm] \vec{a} [/mm] ein "Aufpunkt" (also ein beliebiger Punkt auf der Geraden) und [mm] \vec{v} [/mm] ein Richtungsvektor der Geraden ist.
Nun ist eine solche Parameterform nicht eindeutig. Man kann sie auf mehrere Arten abändern, OHNE DIE GERADE SELBST ZU ÄNDERN, z.B.:
(1) Man kann den Richtungsvektor beliebig verlängern oder verkürzen. Dies tut man vor allem dann, wenn die Koordinaten des Vektors "unangenehme" Brüche sind. Die Richtung der Geraden ändern wir damit nicht!
(2) Man kann einen anderen Aufpunkt wählen.
Dies geschieht nach folgendem Muster: Wenn man vom ursprünglichen Aufpunkt ein Stück in Richtung des Richtungsvektors "läuft", befindet man sich immer noch auf der Geraden, erhält so also andere Punkte auf der Geraden: Jeder davon ist als Aufpunkt brauchbar. Wenn man's nun geschickt anfängt, vielleicht auch nur ein bisschen "rumprobiert", kriegt man so evtl. einen Punkt mit "schöneren" Koordinaten.
Aber: All' das ist NICHT UNBEDINGT NÖTIG!
Wichtig für Dich ist nur:
Es gibt bei solchen Aufgaben eine Unmenge verschiedener Lösungen, die alle richtig sind!
(Das ist aber weniger Dein Problem als das des Lehrers, der nun alles nachrechnen muss, um rauszukriegen, ob Deine Lösungsmenge mit der von ihm selbst berechneten übereinstimmt! Tut er Dir jetzt wenigstens ein bisschen leid, der "arme Kerl"?!)
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Lineare Diophantische Gleichungen lösen