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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 31.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Matheräumler!
Folgendes Gleichungssystem möchte ich lösen:
[mm] x_{1}+ x_{2}+2* x_{3}=1
[/mm]
[mm] 2*x_{1}- x_{2}+ \alpha* x_{3}=0
[/mm]
[mm] 2*x_{1}- x_{2}- x_{3}=0
[/mm]
so, ich habe den Gauß-Algorthmus angewandt:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \alpha & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 }
[/mm]
ich habe ich die zweite und dritte zeile vertauscht und die neue dritte dann mit -1*II addiert. So ergibt sich:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha+1 & 0 }
[/mm]
So, jetzt zu meiner Lösung bzw. zu der Begründung:
Eindeutige Lösungen existieren für [mm] \alpha \not=-1
[/mm]
Bei [mm] \alpha=-1 [/mm] wäre durch die Nullzeile das Gleichungssystem unterbestimmt.
Hmm, also ich tuh mich mit den Begründungen etwas schwer, bin mir auch nicht so supersicher, ob ich alles richtig Begriffen habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand finden würde, der meine Begründung kommentiert!
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 31.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alice!
> Folgendes Gleichungssystem möchte ich lösen:
>
> [mm]x_{1}+ x_{2}+2* x_{3}=1[/mm]
> [mm]2*x_{1}- x_{2}+ \alpha* x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]2*x_{1}- x_{2}- x_{3}=0[/mm]
>
> so, ich habe den Gauß-Algorthmus angewandt:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \alpha & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 }[/mm]
>
>
> ich habe ich die zweite und dritte zeile vertauscht und die
> neue dritte dann mit -1*II addiert. So ergibt sich:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha+1 & 0 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") allerdings bringt der Gauss-Algorithmus die Matrix ja mindestens auf Dreiecksgestalt, die du hier noch nicht erreicht hast.
> So, jetzt zu meiner Lösung bzw. zu der Begründung:
>
> Eindeutige Lösungen existieren für [mm]\alpha \not=-1[/mm]
> Bei
> [mm]\alpha=-1[/mm] wäre durch die Nullzeile das Gleichungssystem
> unterbestimmt.
Diese Überlegungen solltest du erst anstellen, wenn das LGS auf Dreiecksgestalt gebracht worden ist. Es könnte doch zum Beispiel sein, dass die zweite Gleichung einen Widerspruch enthält, dann ist das LGS für alle Belegungen von [mm] \alpha [/mm] unlösbar.
> Hmm, also ich tuh mich mit den Begründungen etwas schwer,
> bin mir auch nicht so supersicher, ob ich alles richtig
> Begriffen habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn sich
> jemand finden würde, der meine Begründung kommentiert!
Ich mache eben noch den einen Schritt:
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & \alpha+1 & 0 \end{array}\right)[/mm]
Jetzt erst kannst du so wie oben argumentieren:
Für [mm] \alpha+1=0 [/mm] gibt es unendliche viele Lösungen.
Für [mm] \alpha+1\not=0 [/mm] gibt es genau eine Lösung.
Der Fall, dass das LGS nicht lösbar ist, kann nicht eintreten.
Allgemein findet man so die Lösbarkeit eine LGS:
Angenommen, wir haben ein LGS in Dreiecksgestalt vorliegen, und die Fragezeichen auf der Hauptdiagonalen sind alle [mm] \not=0:
[/mm]
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c}? & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & X & Y \end{array}\right)[/mm]
X=0, Y=0: unendlich viele Lösungen (es entsteht ja eine Nullzeile)
X=0, [mm] Y\not=0: [/mm] keine Lösung
sonst: genau eine Lösung
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Di 31.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Marc,
danke für deine Antwort, echt super!
Jetzt hab ich endlich das System kapiert, vielen vielen Dank!
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