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Also bei folgender Aufgabe habe ich so meine unsicherheit:
v1 [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] v2 [mm] \vektor{1 \\ t \\ 3} [/mm] v3 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Für welche Werte t [mm] \in \IR [/mm] sind die Vektoren (v1,v2,v3) linear abhängig?
Zu zeigen ist doch:
[mm] \summe_{i=1}^{3} [/mm] a * v = 0 -> a= 0
Wir hatten uns aufgeschreiben dass : mehr als n Vektoren im n-dimensionalen Raum [mm] R^n [/mm] sind immer linear abhängig!
Ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt:
1. 2a1+a2+a3=0
2. a1+ta2+a3=0
3. -3a1+3a2=0
so dann habe ich das ganze aufgelöst und habe dann für t=2 erhalten.
Für t=2 wären die Vektoren jedoch linear unabhängig da wir beim einsetzen 0 erhalten würden.. wie kriege ich denn t raus bei dem sie linear abhängig sind -.-
kann mir da jmd helfen?
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> Also bei folgender Aufgabe habe ich so meine unsicherheit:
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> v1 [mm]\vektor{2 \\
1 \\
3}[/mm] v2 [mm]\vektor{1 \\
t \\
3}[/mm] v3
> [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
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> Für welche Werte t [mm]\in \IR[/mm] sind die Vektoren (v1,v2,v3)
> linear abhängig?
>
> Zu zeigen ist doch:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3}[/mm] a * v = 0 -> a= 0
>
>
> Wir hatten uns aufgeschreiben dass : mehr als n Vektoren
> im n-dimensionalen Raum [mm]R^n[/mm] sind immer linear abhängig!
>
> Ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt:
>
> 1. 2a1+a2+a3=0
> 2. a1+ta2+a3=0
> 3. -3a1+3a2=0
In Matrizenform
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 2&1&1&0\\
1&t&1&0\\
3&3&0&0\end {array} \right) [/mm]
>
> so dann habe ich das ganze aufgelöst und habe dann für
> t=2 erhalten.
> Für t=2 wären die Vektoren jedoch linear unabhängig da
> wir beim einsetzen 0 erhalten würden.. wie kriege ich denn
> t raus bei dem sie linear abhängig sind -.-
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 2&1&1&0\\
1&t&1&0\\
3&3&0&0\end {array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin {array}{ccc} 2&1&1\\
0&2\,t-1&1
\\
0&0&-3\,t\end {array} \right)
[/mm]
Ich hab jetzt die letzte Spalte auch weggelassen. Die Vektoren hier als zeile sind linearabhängig [mm] $\gdw$ [/mm] die Deteminante = 0 ist.
>
> kann mir da jmd helfen?
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hmm also so haben wir das noch gar nicht gemacht.. :S:S das verwirrt mich jetzt noch mehr.. :/
wäre t=2 jetzt richtig oder falsch?
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Hallo Jessica2011,
> hmm also so haben wir das noch gar nicht gemacht.. :S:S das
> verwirrt mich jetzt noch mehr.. :/
>
> wäre t=2 jetzt richtig oder falsch?
Leider ist das falsch.
Gruss
MathePower
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was habe ich denn falsch gemacht ? :/
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Hallo jessica,
du hast schon einen möglichen Ansatz mit deinen 3 Gleichungen. Allerdings ist deine dritte Gleichung falsch. Sie müssten nämlich lauten [mm] 3a_{1}+3a_{2}=0, [/mm] also kein Minus am Anfang. Ist mir schleierhaft wo du dieses Minus herhast...
Wenn du mit dieser Ausbesserung nochmal neu versucht nach t aufzulösen, dann kommst du auch aufs richtige Ergebnis! Mit deinem GS wäre t=2 rausgekommen, also hast du durchaus richtig umgeformt, nur leider am Beginn einen VZ-Fehler gemacht, wodurch du dann keine Chance mehr auf die richtige Lösung hast...
Und wie du richtig angemerkt hast, ist die Lösung des GS die Zahl t, für die die 3 Vektoren linear abhängig sind. UNabhängig sind die 3 Vektoren also dann für alle anderen t, denn wenn sie nicht abhängig sind, dann bleibt ihnen nur die Unabhängigkeit übrig!;)
Einfacher und vor allem i.d.R. schneller ist allerdings das Berechnen mithilfe der Determinante. Hierbei gilt wie bereits von meinem Vorredner erwähnt: Determinante=0 genau dann wenn die Vektoren linear abhängig. Bzw andersrum (und meiner Meinung nach leichter zu merken): UNgleich Null entspricht UNabhängig!
MfG,
MaTEEler
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ahhh tut mir leid mir ist gerade aufgefallen, dass ich den einen vektor falsch abgetippt habe
v1= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3} [/mm] ist richtig . dann wäre t=2 richtig, stimmts?
aber für t=2 wäre das GS l.u. , muss ich dann als Lösungsmenge t [mm] \not= [/mm] 2 schreiben .. würde das ausreichen bei einer klausur??
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> ahhh tut mir leid mir ist gerade aufgefallen, dass ich den
> einen vektor falsch abgetippt habe
Na das haste ja prima hinbekommen!;)
> v1= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}[/mm] ist richtig . dann wäre t=2
> richtig, stimmts?
Ja, dann wäre t=2 richtig!
> aber für t=2 wäre das GS l.u. ,
Nein! Genau für t=2 wären die Vektoren linear abhängig! Wenn die Summe =0 ergibt bedeutet das eine geschlossene Vektorkette und somit lineare Abhängigkeit!
> muss ich dann als
> Lösungsmenge t [mm]\not=[/mm] 2 schreiben .. würde das ausreichen
> bei einer klausur??
Je nachdem wie die Frage lautet. Wenn nach t gefragt, sodass die Vektoren l.u. sind, ist [mm] t\not=2 [/mm] die Antwort.
Also Achtung, für t=2 sind die Vektoren linear abhängig, für alle anderen t sind sie linear unabhängig!
MfG,
MaTEEler
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hmmm also irgendwie verwirrst du mich ..
sagen wir mal wir haben drei vektoren, um die lineare unanbhängigkeit zu zeigen muss ich doch folgendes berechnen oder nicht:
[mm] \summe_{i=1}^{3} [/mm] av=0 -->´a1=a2=a3=0
dann stell ich ein lineares gleichungssystem auf und ermittel alle a.
So und für diese lmbdas oder a´s ist es doch linear unabhängig.
also bezogen auf meine aufgabe wäre doch t=2 die vektoren linear unabhängig...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Fr 11.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmmm also irgendwie verwirrst du mich ..
>
> sagen wir mal wir haben drei vektoren, um die lineare
> unanbhängigkeit zu zeigen muss ich doch folgendes
> berechnen oder nicht:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3}[/mm] av=0 -->´a1=a2=a3=0
>
> dann stell ich ein lineares gleichungssystem auf und
> ermittel alle a.
> So und für diese lmbdas oder a´s ist es doch linear
> unabhängig.
>
> also bezogen auf meine aufgabe wäre doch t=2 die vektoren
> linear unabhängig...
nein, denn es gilt im Falle t=2:
[mm] $v_1+v_2-3*v_3=0$
[/mm]
FRED
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