Linearität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 13.12.2006 | | Autor: | thisby |
| Aufgabe | Es sei [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] eine orthogonalbasis des [mm] \IR^{3}, [/mm] mit [mm] det(v_{1},v_{2},v_{3})>0. [/mm]
a; Zeige das die Abbildung [mm] L:\IR^{3}\to\IR^{3};L(y)=v_{1}\times y_{} [/mm] linear ist |
Ich habe es wie folgt versucht, weis allerdings nicht ob des reicht.
[mm] L(\alpha\*y_{})=v_{1}\times \alpha\*y_{}=\alpha(v_{1}\times y_{})=\alpha\*L(y_{});
[/mm]
[mm] L(y_{1}+y_{2})=v_{1}\times(y_{1}+y_{2})=-((y_{1}+y_{2})\times v_{1})=
[/mm]
[mm] -((y_{1}\times v_{1})+(y_{2}\times v_{1}))= -L(y_{1})-L(y_{2})=\beta\*(L(y_{1})+L(y_{2}))
[/mm]
gibt es noch eine andere Möglichkeit die linearität zu zeigen?
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo thisby,
> Es sei [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] eine orthogonalbasis des [mm]\IR^{3},[/mm]
> mit [mm]det(v_{1},v_{2},v_{3})>0.[/mm]
>
> a; Zeige das die Abbildung
> [mm]L:\IR^{3}\to\IR^{3};L(y)=v_{1}\times y_{}[/mm] linear ist
> Ich habe es wie folgt versucht, weis allerdings nicht ob
> des reicht.
>
> [mm]L(\alpha\*y_{})=v_{1}\times \alpha\*y_{}=\alpha(v_{1}\times y_{})=\alpha\*L(y_{});[/mm]
>
> [mm]L(y_{1}+y_{2})=v_{1}\times(y_{1}+y_{2})=-((y_{1}+y_{2})\times v_{1})=[/mm]
>
> [mm]-((y_{1}\times v_{1})+(y_{2}\times v_{1}))= -L(y_{1})-L(y_{2})=\beta\*(L(y_{1})+L(y_{2}))[/mm]
Was ist denn [mm] $\beta$?
[/mm]
Hier hätte ich besser weiter gerechnet:
[mm]-((y_{1}\times v_{1})+(y_{2}\times v_{1}))=-(y_{1}\times v_{1})-(y_{2}\times v_{1})=v_{1}\times y_{1} + v_{2}\times y_{2}=L(y_1)+L(y_2)[/mm]
Diese Rechnung hängt natürlich auch davon ab, welche Eigenschaften Ihr bereits bewiesen habt und infolgedessen benutzen dürft. Hattet Ihr z.B. wirklich schon die Linearität des Vektorprodukts in der ersten Stelle? Damit ist es natürlich so einfach wie von Dir vorgeführt.
> gibt es noch eine andere Möglichkeit die linearität zu
> zeigen?
L ist doch nach Definition des  Vektorproduktes diese Abbildung:
[mm]\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\mapsto\vektor{v_2*y_3-v_3*y_2\\v_3*y_1-v_1*y_3\\v_1*y_2-v_2*y_1}[/mm] (hier habe ich $v$ statt [mm] $v_1$ [/mm] geschrieben)
Mit dieser Darstellung sollte die Linearität auch einfach zu zeigen sein.
Alternativ kann man ja sogar recht einfach eine Abbildungsmatrix angeben:
[mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\mapsto\pmat{0 & -v_3 & v_2\\v_3 & 0 & -v_1\\-v_2 & v_1 & 0}*\vektor{y_1\\y_2\\y_3}$
[/mm]
Damit folgt die Linearität auch sofort.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mo 18.12.2006 | | Autor: | thisby |
Hallo,
die Bedingungen für die Linearität die ich kenne waren die, welche ich versucht habe durch zu rechnen. Das [mm] \beta [/mm] war als beliebige Konstante gedacht, die auf der linken Seite eben (-1) ist.
[mm] -L(y_{1})-L(y_{2})=\beta*(L(y_{1})+L(y_{2})) [/mm]
> Hattet Ihr z.B. wirklich schon die
> Linearität des Vektorprodukts in der ersten Stelle?
Muß ich leider passen. Kannst du das vielleicht noch einmal etwas ausführlicher erklären?
ZU Guter letzt kann ich die Abbildungsmatrix bzw wie du sie erstellst auch nicht nachvollziehen. Vielleicht kannst du mir auch hier noch etwas auf die Sprünge helfen.
Danke
Thisby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also das [mm] $\beta$ [/mm] benöigst du nicht, wie Marc das schon ganz richtig gezeigt hat.
Nun fragst Du dich, wie Marc auf die Abbildungsmatrix gekommen ist. Schlage dazu am besten einmal die Definition des Vektorprodukts (=Kreuzprodukt)
[mm] $\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\times\vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{v_2\cdot{}y_3-v_3\cdot{}y_2\\v_3\cdot{}y_1-v_1\cdot{}y_3\\v_1\cdot{}y_2-v_2\cdot{}y_1} [/mm] $
nach. Dann kommst Du (da der Vektor v fest gewählt ist) auf die Abbildung
$ [mm] \vektor{y_1\\y_2\\y_3}\mapsto\vektor{v_2\cdot{}y_3-v_3\cdot{}y_2\\v_3\cdot{}y_1-v_1\cdot{}y_3\\v_1\cdot{}y_2-v_2\cdot{}y_1} [/mm] $
und das lässt sch auch durch Matrix-Vektor-Multiplikation darstellen als
$ [mm] \vektor{y_1\\y_2\\y_3}\mapsto\pmat{0 & -v_3 & v_2\\v_3 & 0 & -v_1\\-v_2 & v_1 & 0}\cdot{}\vektor{y_1\\y_2\\y_3} [/mm] $
ganz trivial.
Ciao Denny
|
|
|
|
