Linearkombination < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | | Es sei [mm]v_1,....v_n[/mm] ein System von Vektoren des K-Vektorraumes V, und es gelte Rang [mm](v_1,....,v_n)= n-1[/mm] . Es besteht eine nicht-triviale Relation der Gestalt [mm]a_1*v_1+....+a_n*v_n=0[/mm]. Zeige: Gilt auch [mm]b_1*v_1+....b_n*v_n=0[/mm] mit [mm]b_i \in K[/mm], so gibt es ein c aus K mit [mm]b_i=ca_i[/mm] für alle i. |
Hallo,
ich habe mir erst einmal die Voraussetzungen genommen, weiß jetzt aber nicht, wie ich weiter komme.
Wegen Rang [mm](v_1,....,v_n)= n-1[/mm] sind die n Vektoren l.a., es gibt also mindestens ein [mm]a_i \neq 0[/mm] und ich kann [mm]v_i[/mm] als nicht-triviale Linearkombination [mm]\sum_{j\neq i} a_j v_j[/mm] darstellen. (die [mm]v_j[/mm] sind l.u.)
Ebenso ist [mm]v_i =[/mm][mm]\sum_{j\neq i} b_j v_j[/mm].
Wie kann ich jetzt aber eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den [mm]a_i[/mm]und [mm]b_i[/mm] machen?
Gruß,
Palonina
|
|
| |
|
> Es sei [mm]v_1,....v_n[/mm] ein System von Vektoren des
> K-Vektorraumes V, und es gelte Rang [mm](v_1,....,v_n)= n-1[/mm] .
> Es besteht eine nicht-triviale Relation der Gestalt
> [mm]a_1*v_1+....+a_n*v_n=0[/mm]. Zeige: Gilt auch
> [mm]b_1*v_1+....b_n*v_n=0[/mm] mit [mm]b_i \in K[/mm], so gibt es ein c aus K
> mit [mm]b_i=ca_i[/mm] für alle i.
>
> Hallo,
>
> ich habe mir erst einmal die Voraussetzungen genommen,
> weiß jetzt aber nicht, wie ich weiter komme.
>
> Wegen Rang [mm](v_1,....,v_n)= n-1[/mm] sind die n Vektoren l.a., es
> gibt also mindestens ein [mm]a_i \neq 0[/mm] und ich kann [mm]v_i[/mm] als
> nicht-triviale Linearkombination [mm]\sum_{j\neq i} a_j v_j[/mm]
> darstellen. (die [mm]v_j[/mm] sind l.u.)
> Ebenso ist [mm]v_i =[/mm][mm]\sum_{j\neq i} b_j v_j[/mm].
>
> Wie kann ich jetzt aber eine Aussage über den Zusammenhang
> zwischen den [mm]a_i[/mm]und [mm]b_i[/mm] machen?
>
> Gruß,
> Palonina
>
>
Zunächst erstmal musst die beachten, dass bei der Umstellung zu [mm] v_i=\sum_{j\neq i} a_j v_j [/mm] die Koeffizienten ggf. mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden müssen, also nicht mehr die "originalen" [mm] a_j [/mm] sind, also schreibst du besser
[mm] v_i=\sum_{j\neq i} a_j' v_j [/mm] mit [mm] a_j'=\lambda a_j, [/mm] ebenso mit [mm] b_j.
[/mm]
Das i kannst du dir so wählen, dass die verbleibenden [mm] v_j [/mm] mit [mm] j\ne [/mm] i linear unabhängig sind (wegen Rang n-1).
Und dann setzt du beide Ausdrücke gleich:
[mm] v_i=\sum_{j\neq i} a_j' v_j=\sum_{j\neq i} b_j' v_j\Rightarrow\sum_{j\neq i} (a_j' -b_j')v_j=0
[/mm]
Die lineare Unabhängigkeit liefert dann das gewünschte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Palonina |
Oh, stimmt ja.
Ich habe ja oben schon geschrieben, dass [mm]a_i \neq 0, b_i [/mm] ebenso, kann also teilen und erhalte [mm] a_j'= a_j/a_i, [/mm] bzw [mm] b_j'= b_j/b_i [/mm].
Mit der linearen Unabhängigkeit folgt dann aus [mm]\sum_{j\neq i} (a_j' -b_j')v_j=0[/mm], dass [mm]a_j/a_i-b_j/b_i =0[/mm] und ich erhalte das gesuchte c als [mm]c:= b_i/a_i[/mm].
Danke.
|
|
|
|
