Lipschitz-Konstante < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a, b [mm] \in \IR, [/mm] a < b, und sei f : [a, b] [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f
Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante
L = max |f'(x)|
[mm] x\in[a,b]
[/mm]
ist. |
also ich komm hier auch leide rnicht nehr weiter. habe mir das kriterum auch schon angeschaut womit wie es zeigen sollen....
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> Seien a, b [mm]\in \IR,[/mm] a < b, und sei f : [a, b] [mm]\to \IR[/mm]
> stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f
> Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante
> L = max |f'(x)|
> [mm]x\in[a,b][/mm]
> ist.
> also ich komm hier auch leide rnicht nehr weiter. habe mir
> das kriterum auch schon angeschaut womit wie es zeigen
> sollen....
Was ist das Problem? - Es handelt sich doch um eine direkte Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechung. Denn für alle [mm] $x_1,x_2$ [/mm] aus $[a;b]$ muss es, gemäss Mittelwertsatz der Differentialrechnung, ein [mm] $\xi\in [/mm] ]a,b[$ geben, so dass gilt
[mm]f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)\cdot (x_2-x_1)[/mm]
Daraus erhältst Du, unter Verwendung der wegen der Stetigkeit von $f'$ auf $[a;b]$ endlichen Konstanten $L$, dass gilt
[mm]|f(x_2)-f(x_1)|=|f'(\xi)|\cdot |x_2-x_1|\leq L\cdot |x_2-x_1|[/mm]
Da für die Gültigkeit des Ungleichheitszeichens [mm] $x_{1,2}, \xi \in [/mm] [a;b]$ beliebig sein dürfen, ist $L$ in der Tat eine Lipschitzkonstante für $f$.
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