Lipschitz-Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 24.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
Ich möchte
f(x,y) = (1/2)* |x-y|
auf Lipschitz-Stetigkeit und Kontraktion untersuchen.
Erst einmal zur Lipschitz-Stetigkeit:
Ich habe also zu zeigen:
[mm] \parallel f(x_1, y_1) [/mm] - [mm] f(x_2, y_2) \parallel [/mm] <= [mm] L_1 \parallel x_1-y_1 \parallel [/mm] + [mm] L_2 \parallel x_2-y_2 \parallel
[/mm]
[mm] \parallel f(x_1, y_1) [/mm] - [mm] f(x_2, y_2) \parallel [/mm]
= [mm] \parallel 1/2|x_1-y_1| [/mm] - [mm] 1/2|x_2-y_2| \parallel [/mm]
<= [mm] \parallel 1/2|x_1-y_1| [/mm] + [mm] 1/2|x_2-y_2| \parallel [/mm]
...
<= [mm] L_1 \parallel x_1-y_1 \parallel [/mm] + [mm] L_2 \parallel x_2-y_2 \parallel
[/mm]
Nund meine Frage(n): Kann ich die Beträge bei [mm] \parallel 1/2|x_1-y_1| [/mm] + [mm] 1/2|x_2-y_2| \parallel [/mm] irgendwie wegbekommen oder ist der Ansatz falsch?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 24.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich möchte
> f(x,y) = (1/2)* |x-y|
> auf Lipschitz-Stetigkeit und Kontraktion untersuchen.
>
> Erst einmal zur Lipschitz-Stetigkeit:
> Ich habe also zu zeigen:
> [mm]\parallel f(x_1, y_1)[/mm] - [mm]f(x_2, y_2) \parallel[/mm] <= [mm]L_1 \parallel x_1-y_1 \parallel+L_2 \parallel x_2-y_2 \parallel[/mm]
Ich verstehe nicht so recht, was du meinst. Du Lipschitzbedingung ist doch
[mm]\|f(x_1, y_1) -f(x_2, y_2) \| \le L\cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2)\| = L \cdot \| (x_1-x_2,y_1-y_2) \|[/mm]
Wenn du auf der rechten Seite die [mm]\ell^1[/mm]-Norm des [mm]\IR^2[/mm] meinst, dann wird daraus
[mm]\|f(x_1, y_1) -f(x_2, y_2) \| \le L (|x_1-x_2| + |y_1-y_2|)[/mm]
> [mm]\parallel f(x_1, y_1)[/mm] - [mm]f(x_2, y_2) \parallel[/mm]
Du vergleichst hier doch reelle Zahlen, also kannst du statt [mm]\|\cdot\|[/mm] auch einfach [mm]|\cdot|[/mm] schreiben.
> = [mm]\parallel 1/2|x_1-y_1|[/mm] - [mm]1/2|x_2-y_2| \parallel[/mm]
> <= [mm]\parallel 1/2|x_1-y_1|[/mm] + [mm]1/2|x_2-y_2| \parallel[/mm]
Mit der Dreiecksungleichung sogar unmittelbar:
[mm]\bigl| 1/2|x_1-y_1|[/mm] - [mm]1/2|x_2-y_2| \bigr| \le \bigl|1/2|x_1-y_1|\bigr|+\bigl|1/2|x_2-y_2| \bigr| = 1/2|x_1-y_1|+1/2|x_2-y_2|[/mm]
> ...
> <= [mm]L_1 \parallel x_1-y_1 \parallel[/mm] + [mm]L_2 \parallel x_2-y_2 \parallel[/mm]
>
> Nund meine Frage(n): Kann ich die Beträge bei [mm]\parallel 1/2|x_1-y_1|[/mm]
> + [mm]1/2|x_2-y_2| \parallel[/mm] irgendwie wegbekommen
Das sind zwei nichtnegative reelle Zahlen, also ist
[mm] \bigl|1/2|x_1-y_1|+1/2|x_2-y_2| \bigr| = 1/2|x_1-y_1|+1/2|x_2-y_2|[/mm]
und du bist fertig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 25.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe da noch eine kleine Frage:
Wie kommt man auf:
[mm] 1/2|x_1-y_1| [/mm] + [mm] 1/2|x_2-y_2|
[/mm]
<= [mm] L(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|) [/mm] ?
Mit der Dreiecksunglichung kommt man ja nicht weiter, denn
[mm] 1/2|x_1-y_1| [/mm] + [mm] 1/2|x_2-y_2|
[/mm]
<= 1/2 [mm] |x_1|+1/2|y_1|+1/2|x_2|+1/2|y_2|
[/mm]
= [mm] 1/2(x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2)
[/mm]
>= [mm] L(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)
[/mm]
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 25.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
man kann 1/2 doch einfach ausklammern.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 25.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Hund,
durch Ausklammern erhalte ich aber doch nur:
[mm] 1/2|x_1-y_1| [/mm] + [mm] 1/2|x_2-y_2|
[/mm]
= 1/2 [mm] (|x_1-y_1| [/mm] + [mm] |x_2-y_2|)
[/mm]
aber das ist doch nicht
<= [mm] L(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|) [/mm]
denn [mm] |x_1-y_1|\not= |x_1-x_2|
[/mm]
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 25.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Elefanti,
ich habe gestern Abend nicht richtig aufgepasst. Du hast recht, die Lipschitz-Stetigkeit folgt daraus nicht.
Wenn [mm]x_1\ge y_1[/mm] und [mm]x_2\ge y_2[/mm] ist, geht es einfach, dann ist mit der Dreiecksungleichung
[mm]|f(x_1,y_1) -f (x_2,y_2)| = \bruch{1}{2} |x_1-y_1 - x_2 +y_2| \le \bruch{1}{2} \left(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\right)[/mm]
Im Fall [mm]x_1\ge y_1[/mm] und [mm]x_20[/mm]. Dann ist
[mm]|f(x_1,y_1) -f (x_2,y_2)| = \bruch{1}{2} |a - b| [/mm]
Andererseits ist
[mm]|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=|x_1-x_2|+|x_1-a-(x_2+b)| = |x_1-x_2|+|(x_1-x_2)-(a+b)|\ge |(x_1-x_2) -((x_1-x_2)-(a+b))| = |a+b| \ge\bigl||a|-|b|\bigr| = |a-b|[/mm]
Wenn du beide Ungleichungsketten zusammensetzt, ergibt sich wieder die Lipschitz-Stetigkeit.
Die restlichen Fälle ergeben sich durch Vertauschung von [mm](x_1,y_1)[/mm] und [mm](x_2,y_2)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 25.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Rainer,
vielen vielen Dank, ja so geht das auf.
Vielleicht habe noch einfachere Variante gefunden?
[mm] |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|
[/mm]
= [mm] |1/2|x_1-y_1| -1/2|x_2-y_2|| [/mm]
= [mm] |1/2(|x_1-y_1|-|x_2-y_2|)|
[/mm]
<= [mm] |1/2(|x_1-y_1|-|x_2+y_2|)|
[/mm]
= [mm] |1/2(|x_1-y_1|-(x_2+y_2))|
[/mm]
= [mm] |1/2(|x_1-y_1|-x_2-y_2)|
[/mm]
<= [mm] |1/2(|x_1+y_1|-x_2-y_2)|
[/mm]
= [mm] |1/2(x_1+y_1-x_2-y_2)|
[/mm]
= [mm] |1/2(x_1-x_2+y_1-y_2)|
[/mm]
[mm] <=1/2(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist.
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
ich bin mir nicht sicher, dass alle deine Ungleichungen stimmen.
Aber du hast mich auf eine Idee gebracht:
[mm]|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)| = \bruch{1}{2}\bigl||x_1-y_1| -|x_2-y_2|\bigr|\le\bruch{1}{2}\bigl|(x_1-y_1) - (x_2-y_2)\bigr| = \bruch{1}{2}\bigl|x_1-x_2 - y_1+y_2\bigr| = \bruch{1}{2}\bigl|(x_1-x_2) - (y_1-y_2)\bigr| \le \bruch{1}{2}\left(x_1-x_2| + |y_1-y_2|\right)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mi 26.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Rainer,
super vielen Dank für deine vielen Antworten!
Viele Grüße
Elefanti
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