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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 16.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | a) Beh: Jede lipschitzstetige Funktion ist stetig
b) Seien (X,d) ein metrischer Raum, A [mm] \subset [/mm] X eine nichtleere Menge.
Beh: Dann ist d': [mm] X\to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) Lipschitzstetig
c)Seien (X,d), (Y,d') metrische Räume, f: [mm] X\to [/mm] Y und [mm] U\subset [/mm] X nicht leer und offen.
Beh: Dann gilt: [mm] f|_U: U\to [/mm] Y ist stetig [mm] \gdw [/mm] f ist auf U stetig |
zu a) Sei f X [mm] \to [/mm] Y Lipschitzstetig. Dann ex ein C>0 f.a. x,y [mm] \in [/mm] X mit [mm] d_Y(f(x),f(y))\le C*d_X(x,y). [/mm] Sei also C meine lipschitzkonstante, sei weiter x [mm] \in [/mm] X, [mm] \epsilon [/mm] >0 . Setze [mm] \delta:=\bruch{\epsilon}{c}. [/mm] Dann gilt für alle y [mm] \in [/mm] X mit [mm] d_X(x,y)< \delta: d_Y(f(x),f(y))\le C*d_X(x,y)< C*\delta=c*\bruch{\epsilon}{c}= \epsilon [/mm] ... Relativ simpel
zu b) Muss doch ein C finden, mit [mm] |f(x)-f(y)|=|inf{d(x,a)|a\in A}-inf{d(y,a)|a\in A}|\le [/mm] C*d(x,y)... oder geht das weniger konkret mit irgendeinem satz?
zu c) gar keine Ahnung mehr (außer dass ich davon ausgehe, dass die rückrichtung so trivial ist, wie sie auf dem ersten Blick scheint)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 16.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> zu a) Sei f X [mm]\to[/mm] Y Lipschitzstetig. Dann ex ein C>0 f.a.
> x,y [mm]\in[/mm] X mit [mm]d_Y(f(x),f(y))\le C*d_X(x,y).[/mm] Sei also C
> meine lipschitzkonstante, sei weiter x [mm]\in[/mm] X, [mm]\epsilon[/mm] >0
> . Setze [mm]\delta:=\bruch{\epsilon}{c}.[/mm] Dann gilt für alle y
> [mm]\in[/mm] X mit [mm]d_X(x,y)< \delta: d_Y(f(x),f(y))\le C*d_X(x,y)< C*\delta=c*\bruch{\epsilon}{c}= \epsilon[/mm]
> ... Relativ simpel
Korrekt.
> zu b) Muss doch ein C finden, mit
> [mm]|f(x)-f(y)|=|inf{d(x,a)|a\in A}-inf{d(y,a)|a\in A}|\le[/mm]
> C*d(x,y)... oder geht das weniger konkret mit irgendeinem
> satz?
Eine Zeichnung hilft. Nimm 1 als L-Konstante.
> zu c) gar keine Ahnung mehr (außer dass ich davon ausgehe,
> dass die rückrichtung so trivial ist, wie sie auf dem
> ersten Blick scheint)
Ich vermute du hast dich vertippt - die Hinrichtung ist auch trivial, f ist ja auf ganz X stetig.
Gruß,
dormant
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moin, dormant, danke erst einmal für die schnelle Antwort...
zu b)... also darf ich die beiden Infima in diesem Fall doch irgendwie zusammenziehen? Oder wie komme ich drauf? Tut mir leid, aber Zeichnungen helfen mir immer recht wenige (zumindest wennn ich sie selbst irgendwie anfertigen soll )
zu c) Ähem... warum ist f schon auf ganz X stetig? Dann wäre doch wohl die ganze Aufgabe irgenwie überflüssig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 19.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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