Lipschitzkonstante < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Ich habe folgende Aufgabe:
Man zeige (ohne Di erenzieren), dass f(x) = (1 + [mm] x^2)^{-1} [/mm] Lipschitzstetig
ist |
Also gut die Lipschitz-Stetigkeit ist so definiert:
[mm] |f(x_1)-f(x_2)|\le [/mm] L [mm] \cdot |x_1-x_2| [/mm] // wobei L die Konstante ist
ih habe mal probiert dies einzusetzen:
[mm] |\bruch{1}{1+x_{1}^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+x_{2}^2} [/mm] | [mm] \le [/mm] L [mm] \cdot |x_1-x_2|
[/mm]
Das habe ich probiert auf den gleiche Nenner zu bringen
[mm] |\bruch{x_{2}^2 - x_{1}^2}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le [/mm] L [mm] \cdot |x_1-x_2|
[/mm]
hier weiß ich leider nicht wie man weiter vorgehen sollte...oder muss ich jetzt einfach abschätzen?
Danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 01.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> Ich habe folgende Aufgabe:
>
> Man zeige (ohne Di erenzieren), dass f(x) = (1 + [mm]x^2)^{-1}[/mm]
> Lipschitzstetig
> ist
> Also gut die Lipschitz-Stetigkeit ist so definiert:
>
> [mm]|f(x_1)-f(x_2)|\le[/mm] L [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm] // wobei L die
> Konstante ist
>
> ih habe mal probiert dies einzusetzen:
>
> [mm]|\bruch{1}{1+x_{1}^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+x_{2}^2}[/mm] | [mm]\le[/mm] L [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm]
>
> Das habe ich probiert auf den gleiche Nenner zu bringen
>
> [mm]|\bruch{x_{2}^2 - x_{1}^2}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le[/mm] L
> [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm]
Hallo,
wie wäre es denn jetzt mal mit der Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Term [mm] $x_2^2-x_1^2$?
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> hier weiß ich leider nicht wie man weiter vorgehen
> sollte...oder muss ich jetzt einfach abschätzen?
>
> Danke euch
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> > Hi,
> >
> > Ich habe folgende Aufgabe:
> >
> > Man zeige (ohne Di erenzieren), dass f(x) = (1 + [mm]x^2)^{-1}[/mm]
> > Lipschitzstetig
> > ist
> > Also gut die Lipschitz-Stetigkeit ist so definiert:
> >
> > [mm]|f(x_1)-f(x_2)|\le[/mm] L [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm] // wobei L die
> > Konstante ist
> >
> > ih habe mal probiert dies einzusetzen:
> >
> > [mm]|\bruch{1}{1+x_{1}^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+x_{2}^2}[/mm] | [mm]\le[/mm] L [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm]
>
> >
> > Das habe ich probiert auf den gleiche Nenner zu bringen
> >
> > [mm]|\bruch{x_{2}^2 - x_{1}^2}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le[/mm] L
> > [mm]\cdot |x_1-x_2|[/mm]
>
> Hallo,
> wie wäre es denn jetzt mal mit der Anwendung der dritten
> binomischen Formel auf den Term [mm]x_2^2-x_1^2[/mm]?
> Gruß Abakus
> >
hmm ok also folgt:
[mm] |\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le [/mm] L [mm] |x_1-x_2|[/mm]
Nun gut...
> >
> > hier weiß ich leider nicht wie man weiter vorgehen
> > sollte...oder muss ich jetzt einfach abschätzen?
> >
> > Danke euch
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 01.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo,
> > wie wäre es denn jetzt mal mit der Anwendung der
> dritten
> > binomischen Formel auf den Term [mm]x_2^2-x_1^2[/mm]?
> > Gruß Abakus
> > >
>
> hmm ok also folgt:
>
> [mm]|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le[/mm]
> L [mm]|x_1-x_2|[/mm]
>
Es gilt:
[mm] $\left|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\right|$ [/mm]
[mm] $=\bruch{\left|(x_1+x_2)(x_1-x_2)\right|}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}$ [/mm]
(Das ist nicht zwingend notwendig, da aber der Nenner immer größer als Null ist (Warum, finde mal selber heraus), geht das hier:
Also:
[mm] $\left|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\right|\leq L\cdot|x_1-x_2|$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq L\cdot|x_1-x_2|$
[/mm]
Dividiere nun durch [mm] |x_{1}-x_{2}|
[/mm]
Evtl musst du noch eine Fallunterscheidung machen.
Marius
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> > > Hallo,
> > > wie wäre es denn jetzt mal mit der Anwendung der
> > dritten
> > > binomischen Formel auf den Term [mm]x_2^2-x_1^2[/mm]?
> > > Gruß Abakus
> > > >
> >
> > hmm ok also folgt:
> >
> > [mm]|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}| \le[/mm]
> > L [mm]|x_1-x_2|[/mm]
> >
>
> Es gilt:
>
> [mm]\left|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\right|[/mm]
> [mm]=\bruch{\left|(x_1+x_2)(x_1-x_2)\right|}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}[/mm]
>
> (Das ist nicht zwingend notwendig, da aber der Nenner immer
> größer als Null ist (Warum, finde mal selber heraus),
> geht das hier:
>
Der Nenner ist immer größer Null da ich nur in das Quadrat einsetzen kann somit kann der Wert nicht negativ sein und falls ich 0 einsetze bin ich trotzdem positiv.
> Also:
>
> [mm]\left|\bruch{(x_1+x_2) (x_1 - x_2) }{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\right|\leq L\cdot|x_1-x_2|[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq L\cdot|x_1-x_2|[/mm]
>
>
>
> Dividiere nun durch [mm]|x_{1}-x_{2}|[/mm]
> Evtl musst du noch eine Fallunterscheidung machen.
>
Nach wusch, dass ist doch eine harte nuss diese division oder?
[mm] \Leftrightarrow \bruch{\bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}}{x_{1}-x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)} [/mm] * [mm] \bruch{1 }{x_1 - x_2}
[/mm]
Dies nun ausmultipliezieren
[mm] \bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2) (x_1 - x_2)}
[/mm]
Jetzt kann ich [mm] (x_1 -x_2) [/mm] kürzen und es bleibt
[mm] \bruch{|(x_1+x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2) }
[/mm]
hast du das so gemeint?
> Marius
>
>
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> > [mm]\Leftrightarrow\bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq L\cdot|x_1-x_2|[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Dividiere nun durch [mm]|x_{1}-x_{2}|[/mm]
Ich denke mal es war Folgendes gemeint:
[mm] $\bruch{|(x_1+x_2) (x_1 - x_2) |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq L\cdot|x_1-x_2|$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{|x_1+x_2| |x_1 - x_2 |}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq L\cdot|x_1-x_2|$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{|x_1+x_2|}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq [/mm] L$
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hmm genau das habe ich doch gemacht oder?
$ [mm] \bruch{|x_1+x_2|}{(1+x_{1}^2)(1+x_{2}^2)}\leq [/mm] L $
nur wie geht es hierbei jetzt weiter?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 01.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt musst du ein L also eine Zahl finden, so dass die Ungleichung immer erfüllt ist. versuchs mit L=1 oder L=10.
Gruss leduart
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Ok> Hallo
> jetzt musst du ein L also eine Zahl finden, so dass die
> Ungleichung immer erfüllt ist. versuchs mit L=1 oder
> L=10.
> Gruss leduart
Ok und was setze ich für mein [mm] x_1 [/mm] bzw [mm] x_2 [/mm] ein ? oder muss mein L größer sein als alle Werte aus [mm] \IR [/mm] die ich einsetzen könnte.
Denn in diesem Fall wäre ich durch einsetzen von verschieden größen werten auf L= 1 gekommen.
Denn der Bruch bleibt IMMER kleiner als 1
Hast du das so gemeint?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok> Hallo
> > jetzt musst du ein L also eine Zahl finden, so dass die
> > Ungleichung immer erfüllt ist. versuchs mit L=1 oder
> > L=10.
> > Gruss leduart
>
> Ok und was setze ich für mein [mm]x_1[/mm] bzw [mm]x_2[/mm] ein ? oder muss
> mein L größer sein als alle Werte aus [mm]\IR[/mm] die ich
> einsetzen könnte.
die Ungleichung muss für alle möglichen Werte [mm] $x_{1,2} \in \IR$ [/mm] gelten. $L=0.1=1/10$ würd's etwa nicht tun, da mit [mm] $x_1=0$ [/mm] und [mm] $x_2=1$
[/mm]
$$1/5 [mm] \le [/mm] 0.1$$
folgen müßte, was offenbar falsch ist.
> Denn in diesem Fall wäre ich durch einsetzen von
> verschieden größen werten auf L= 1 gekommen.
>
> Denn der Bruch bleibt IMMER kleiner als 1
Dann beweise das!
> Hast du das so gemeint?
Was eigentlich gemeint ist: Finde nun ein $L > [mm] 0\,$ [/mm] so, dass
[mm] $$|x_1+x_2|/((1+x_1^2)*(1+x_2^2)) \le [/mm] L$$
für alle [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] und beweise, dass dieses [mm] $L\,$ [/mm] dafür auch passt. (Also nicht raten und hinreichend oft einsetzen, sondern wirklich: Beweisen!!!)
Wenn Du nun zeigst, dass die Ungleichung mit [mm] $L=L_0:=1$ [/mm] stets erfüllt ist (also für alle reellen [mm] $x_1,x_2$), [/mm] dann folgt natürlich, dass sie auch für jedes $L > [mm] L_0$ [/mm] stets erfüllt ist. Es ist nicht notwendig, das "bestmögliche (kleinste)" [mm] $L\,$ [/mm] zu finden.
Also:
Leduart hat vorgeschlagen: Teste [mm] $L=1\,.$ [/mm] (Wir müssen sicher $L > 1/10=0.1$ testen, siehe oben!).
Wenn dies eine "geeignete Lipschitzkonstante ist", müssen/können wir beweisen, dass für alle reellen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] gilt
[mm] $$|x_1+x_2|/((1+x_1^2)*(1+x_2^2))\le 1\,.$$
[/mm]
Ich würde es einfach angehen, nämlich:
Es gilt
[mm] $$\frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)*(1+x_2^2)} \le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)*(1+x_2^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_1^2)*(1+x_2^2)}\le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}\,.$$
[/mm]
Nun beweise, dass für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2 [mm] \,.$$
[/mm]
(Tipp: Zeige die Äquivalenz zu [mm] $(|r|-1)^2 \ge 0\,.$)
[/mm]
Damit erkennst Du dann, dass [mm] $L=1\,$ [/mm] geeignet ist. (Alternativ: Zeige [mm] $r/(1+r^2) \le 1\,,$ [/mm] und folgere somit, dass [mm] $L=2\,$ [/mm] geeignet ist.)
Gruß,
Marcel
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Danke für deine ausführliche Antwort:
Es belibt also das ich folgendes beweißen muss:
$ [mm] |r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2 [mm] \,. [/mm] $
Ich wäre mit induktion herangegangen
Anfange für r=0:
$ |0|/(1+0) [mm] \le [/mm] 1/2 [mm] \,. [/mm] $ // passt also
Voraussetzung:
$ [mm] |r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2 [mm] \,. [/mm] $
Induktionsschritt
$ [mm] |r+1|/(1+(r+1)^2) \le [/mm] 1/2 [mm] \,. [/mm] $
$ [mm] \bruch{|r+1|}{(r^2+2(r+1))} \le [/mm] 1/2 [mm] \,. [/mm] $
Nun sehe ich, dass der Zähler zwar um 1 steigt, der Nenner aber um ein vielfaches mehr. Somit gilt laut Voraussetzung, $1/2 > r>r+1$
Hast du das so etwa gemeint?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit reellen Zahlen kann man keine Induktion machen!
es ist doch leicht zu zeigen, dass das /le 1 ist, wenn es dir mit 0.5 nicht geingt. und zwar direkt, ohne Induktion!
du musst ja nicht L=1 nehmen! es geht auch L=2
Gruss leduart
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> Hallo
> mit reellen Zahlen kann man keine Induktion machen!
> es ist doch leicht zu zeigen, dass das /le 1 ist, wenn es
> dir mit 0.5 nicht geingt. und zwar direkt, ohne Induktion!
> du musst ja nicht L=1 nehmen! es geht auch L=2
> Gruss leduart
hmm ok hast du es dann so gemeint:
$ [mm] |r|/(1+r^2) \le [/mm] 1 \ [mm] |*(1+r^2) [/mm] $
$ |r| [mm] \le [/mm] 1 [mm] (1+r^2) [/mm] $
$ |r| [mm] \le [/mm] 1 + [mm] r^2 [/mm] $ | - [mm] r^2
[/mm]
$ |r| - [mm] r^2 \le [/mm] 1 $
Und das gilt für alle r [mm] \in \IR.
[/mm]
Somit gilt für bei addition
[mm] |r/(1+r^2)| [/mm] + [mm] |r/(1+r^2)| \le [/mm] 2
So in etwa?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> > mit reellen Zahlen kann man keine Induktion machen!
> > es ist doch leicht zu zeigen, dass das /le 1 ist, wenn
> es
> > dir mit 0.5 nicht geingt. und zwar direkt, ohne Induktion!
> > du musst ja nicht L=1 nehmen! es geht auch L=2
> > Gruss leduart
>
>
> hmm ok hast du es dann so gemeint:
>
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1 \ |*(1+r^2)[/mm]
>
> [mm]|r| \le 1 (1+r^2) [/mm]
>
> [mm]|r| \le 1 + r^2 [/mm] | - [mm]r^2[/mm]
>
> [mm]|r| - r^2 \le 1 [/mm]
>
> Und das gilt für alle r [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Somit gilt für bei addition
>
> [mm]|r/(1+r^2)|[/mm] + [mm]|r/(1+r^2)| \le[/mm] 2
>
> So in etwa?
>
> mfg
Das sieht gut aus, der kleinstmögliche Wert für L wäre 1/2.
Marius
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Danke dir bis hierher:
Nun habe ich noch einen b-Teil zu dieser Aufgabe und zwar soll ich mit differenzieren die bestmöglich Lipschitzkonstante ermitteln:
also hätte ich einfach mal meine Funktion abgeleitet und komme auf:
f(x) = (1 + $ [mm] x^2)^{-1} [/mm]
f(x) [mm] =\bruch{1}{(1 + x^2)} [/mm]
dies nun ableiten mittels Qotientenregel ergibt:
f'(x) = [mm] \bruch{2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
hmm aber wie soll das jetzt weitergehen?
Danke dir für alles
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir hatten ja:
[mm] L\geq\frac{|x|}{1+x^{2}}
[/mm]
Bestimme nun das Maximum (die y-Koordinate der Hochpunkte) der Funktion [mm] L(x)=\frac{|x|}{1+x^{2}}
[/mm]
Hierbei kannst du die y-Achsensymmetrie der Funktion ausnutzen, denn es gilt:
[mm] L(-x)=\frac{|-x|}{1+(-x)^{2}}=\frac{|x|}{1+x^{2}}=L(x)
[/mm]
Also berechne das Maximum für [mm] x\geq0, [/mm] dann ist nämlich:
[mm] L(x)=\frac{|x|}{1+x^{2}}=\frac{x}{1+x^{2}}
[/mm]
Damit umgehst du die Betragsstriche elegant.
Marius
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Bitte entschuldige meine dämliche Frage aber ich kann doch nur ein Extrema in einem kompakten Intervall berechnen
Oder ist mein Intervall nun [0, [mm] \infty[
[/mm]
Dann wenn ich mir den [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{|x|}{1+x^{2}} [/mm] ansehe, weiß ich das es gegen 0 konvergiert somit wäre das Minimum 0 und das Maximum wäre demnach der erste Wert den die Funktion "ausspuckt" (Aus Gründen der Monotonie)
hast du das so gemeint?
bzw willst darauf hinaus das die erste Ableitung der Extremwert der Funktion ist?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Bitte entschuldige meine dämliche Frage aber ich kann doch
> nur ein Extrema in einem kompakten Intervall berechnen
>
> Oder ist mein Intervall nun [0, [mm]\infty[[/mm]
Das ist es.
>
> Dann wenn ich mir den
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{|x|}{1+x^{2}}[/mm] ansehe,
> weiß ich das es gegen 0 konvergiert somit wäre das
> Minimum 0 und das Maximum wäre demnach der erste Wert den
> die Funktion "ausspuckt" (Aus Gründen der Monotonie)
Nein, die Monotonie ändert sich im verlaufe des Intervalles. Ausserdem gibt es keinen "ersten Funktionswert"
>
> hast du das so gemeint?
Nein.
>
> bzw willst darauf hinaus das die erste Ableitung der
> Extremwert der Funktion ist?
Das schon eher, auch wenn das mit "Schwammig formuliert" noch sehr mild formuliert ist.
Bestimme das Maximum der Funktion [mm] L(x)=\frac{x}{1+x^{2}} [/mm] auf [mm] $I[0;\infty[$, [/mm] das ist eine recht einfache Funktion.
>
> mfg
Marius
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Ich weiß icht ob ich dies richtig verstanden habe, aber ich soll einfach die erste Ableitung dieser Funktion bilden.
[mm] L(x)=\frac{x}{1+x^{2}} [/mm]
$ [mm] L'(x)=\frac{(1+x^2)- 2x^2}{(1+x^{2})^2} [/mm] $
$ [mm] L'(x)=\frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2} [/mm] $
Dies setze ich nun gleich 0
[mm] \frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2} [/mm] = 0 | [mm] *(1+x^{2})^2
[/mm]
x = +/- 1
Wenn ich den Graphen zeichne folgt das selbe
http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/unbenanntn0zekgwmu3_thumb.jpg
ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich weiß icht ob ich dies richtig verstanden habe, aber
> ich soll einfach die erste Ableitung dieser Funktion
> bilden.
>
>
> [mm]L(x)=\frac{x}{1+x^{2}}[/mm]
>
> [mm]L'(x)=\frac{(1+x^2)- 2x^2}{(1+x^{2})^2}[/mm]
>
> [mm]L'(x)=\frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2}[/mm]
>
> Dies setze ich nun gleich 0
>
> [mm]\frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2}[/mm] = 0 | [mm]*(1+x^{2})^2[/mm]
>
> x = +/- 1
Das ist die x-Koordinate des Extrempunktes, gesucht ist die y-Koordinate. Außerdem musst du noch zeigen, dass es ein Hochpunkt ist.
>
> Wenn ich den Graphen zeichne folgt das selbe
>
> http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/unbenanntn0zekgwmu3_thumb.jpg
Das ist eine gute Idee, das ganze zu skizzieren, aber als Beweis reicht das noch nicht.
>
> ok?
Bis jetzt ja, du hast aber noch zwei Kleinigkeiten zu erledigen.
Marius
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> > Ich weiß icht ob ich dies richtig verstanden habe, aber
> > ich soll einfach die erste Ableitung dieser Funktion
> > bilden.
> >
> >
> > [mm]L(x)=\frac{x}{1+x^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]L'(x)=\frac{(1+x^2)- 2x^2}{(1+x^{2})^2}[/mm]
> >
> > [mm]L'(x)=\frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2}[/mm]
> >
> > Dies setze ich nun gleich 0
> >
> > [mm]\frac{(-x^2 +1}{(1+x^{2})^2}[/mm] = 0 | [mm]*(1+x^{2})^2[/mm]
> >
> > x = +/- 1
>
> Das ist die x-Koordinate des Extrempunktes, gesucht ist die
> y-Koordinate. Außerdem musst du noch zeigen, dass es ein
> Hochpunkt ist.
>
Hochpunkt zeige ich indem ich in die 2te Ableitung einsetze und einen wert kleiner 0 herausbekomme
Also
L''(x) = [mm] \bruch{-2x(x^2+1)^2 - 2(1+1)^1 * 2x(-x^2+1)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
Dies nun einsetzen für
L''(1) < 0 [mm] \rightarrow [/mm] Max
und den y wert erhalt ich, wenn ich in die Funktion ensetze:
Also
L(1) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Zusammengefasst heißt dass, wenn ich bei der Funktion das Maximum ausrechne (dies auch zeige) und diesen Extremwert in meine Funktion einsetze erhalte ich meine Lipschitzkonstante?
Danke dir
> >
> > Wenn ich den Graphen zeichne folgt das selbe
> >
> >
> http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/unbenanntn0zekgwmu3_thumb.jpg
>
> Das ist eine gute Idee, das ganze zu skizzieren, aber als
> Beweis reicht das noch nicht.
> >
> > ok?
>
> Bis jetzt ja, du hast aber noch zwei Kleinigkeiten zu
> erledigen.
>
> Marius
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > > Ich weiß icht ob ich dies richtig verstanden habe, aber
> > > ich soll einfach die erste Ableitung dieser Funktion
> > > bilden.
> > >
> >
> > Das ist die x-Koordinate des Extrempunktes, gesucht ist die
> > y-Koordinate. Außerdem musst du noch zeigen, dass es ein
> > Hochpunkt ist.
> >
> Hochpunkt zeige ich indem ich in die 2te Ableitung einsetze
> und einen wert kleiner 0 herausbekomme
So ist es.
>
> Also
>
> L''(x) = [mm]\bruch{-2x(x^2+1)^2 - 2(1+1)^1 * 2x(-x^2+1)}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
> Dies nun einsetzen für
>
> L''(1) < 0 [mm]\rightarrow[/mm] Max
Korrekt.
>
> und den y wert erhalt ich, wenn ich in die Funktion
> ensetze:
>
> Also
>
> L(1) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Zusammengefasst heißt dass, wenn ich bei der Funktion das
> Maximum ausrechne (dies auch zeige) und diesen Extremwert
> in meine Funktion einsetze erhalte ich meine
> Lipschitzkonstante?
Du suchst die kleinste obere Schranke L, also macht es Sinn, die Werte für die Funktionsvariable, hier x, zu suchen, bei denen die Grenze erreicht wird. Und das sind die globalen Maxima der Funktion.
Hier bietet sich dann alo der Weg über die Funktionsuntersuchung an, es mag aber auch andere Wege geben.
Marius
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Ok danke dir für alles
Abschließend würde ich noch gerne wissen, wieso wir
[mm] \frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}
[/mm]
untersuchen und nicht meinen ganzen Therm
[mm] \bruch{|x_1+x_2|}{((1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2))}
[/mm]
der folgendermaßen umgeformt wurde
$ [mm] \frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)} \le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}\le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}\,. [/mm] $
somit müsste ich doch schlussendlich dies betrachten:
[mm] \frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} [/mm] + [mm] \frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} \rightarrow [/mm] 1/2 +1/2 = 1
Somit wäre 1 meine Lipschitzkonstante?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ok danke dir für alles
>
> Abschließend würde ich noch gerne wissen, wieso wir
>
> [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}[/mm]
>
> untersuchen und nicht meinen ganzen Therm
>
> [mm]\bruch{|x_1+x_2|}{((1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2))}[/mm]
>
> der folgendermaßen umgeformt wurde
>
> [mm]\frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)} \le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}\le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}\,.[/mm]
>
> somit müsste ich doch schlussendlich dies betrachten:
>
> [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}[/mm] + [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} \rightarrow[/mm]
> 1/2 +1/2 = 1
>
> Somit wäre 1 meine Lipschitzkonstante?
>
> mfg
>
Das ist in der Tat untergegangen, ja. Die 1 ist die tiefstmögliche Lipschitzkonstante, ja.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok danke dir für alles
>
> Abschließend würde ich noch gerne wissen, wieso wir
>
> [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}[/mm]
>
> untersuchen und nicht meinen ganzen Therm
>
> [mm]\bruch{|x_1+x_2|}{((1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2))}[/mm]
>
> der folgendermaßen umgeformt wurde
>
> [mm]\frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)} \le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)}\le \frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}\,.[/mm]
>
> somit müsste ich doch schlussendlich dies betrachten:
>
> [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)}[/mm] + [mm]\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} \rightarrow[/mm]
> 1/2 +1/2 = 1
>
> Somit wäre 1 meine Lipschitzkonstante?
machen wir es besser mal ausführlich(er): Die obige Abschätzung hat unter anderem die Dreiecksungleichung verwendet, das ist i.a. eine "grobe Abschätzung". Das heißt, bei dieser obigen Methode haben wir evtl. "Information verloren" in dem Sinne, dass der letztstehende Term kleinergleich einer Lipschitzkonstanten für eine genügend große Lipschitzkonstante ist, aber es evtl. dennoch kleinere Lipschitzkonstanten für [mm] $f\,$ [/mm] gibt, die diese dann letzte Ungleichung nicht mehr erfüllen.
Das ganze ein wenig besser bzw. deutlicher gesagt:
[mm] $$\frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} \le \tilde{L}$$
[/mm]
kann auch für eine Lipschitzkonstante falsch sein, d.h. dass für dieses [mm] $\tilde{L}\,$ [/mm] dann dennoch stets
[mm] $$\frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)} \le \tilde{L}$$
[/mm]
gelten kann.
Andersherum, und diese Logik haben wir halt benutzt:
Wenn ein [mm] $L\,$ [/mm] nun
[mm] $$\frac{|x_1|}{(1+x_1^2)}+\frac{|x_2|}{(1+x_2^2)} \le [/mm] L$$
stets erfüllt, dann sicher auch stets
[mm] $$\frac{|x_1+x_2|}{(1+x_1^2)\cdot{}(1+x_2^2)} \le L\,.$$
[/mm]
Solch' ein [mm] $L\,$ [/mm] ist dann sicher eine Lipschitz-Konstante für unsere Funktion [mm] $f\,.$
[/mm]
Was aber gilt, und vermutlich "weniger grob" ist, ist:
Ist $|f'|$ beschränkt, etwa $|f'(x)| [mm] \le [/mm] M$ (wobei natürlich $M [mm] \ge 0\,$ [/mm] fest ist!) für alle [mm] $x\,,$ [/mm] so folgt, dass [mm] $M\,$ [/mm] eine Lipschitz-Konstante für [mm] $f\,$ [/mm] ist, da für alle $x < [mm] y\,$ [/mm] dann gilt
[mm] $$\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|}=|f'(\xi)| \le [/mm] M$$
mit einem $x < [mm] \xi [/mm] < [mm] y\,.$
[/mm]
Und wenn wir hier [mm] $M\,$ [/mm] "so klein wie möglich und so groß wie nötig" wählen können, sind wir sicher nicht mehr "allzu grob" bei unserer Wahl einer "möglichst kleinen" Lipschitzkonstanten.
Hier:
[mm] $$f(x)=1/(1+x^2)$$
[/mm]
liefert
[mm] $$f'(x)=-2x/(1+x^2)^2$$
[/mm]
und damit auch
[mm] $$f''(x)=\frac{-2(1+x^2)^2+2x*2(1+x^2)*2x}{(1+x^2)^4}=\frac{-2-4x^2-2x^4+8x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{6x^4+4x^2-2}{(1+x^2)^4}\,.$$
[/mm]
Berechne nun die Nullstellen von [mm] $f''=g'\,.$ [/mm] Danach bestimme die lokalen (und auch globalen) Extremwerte von [mm] $g:=f'\,.$ [/mm] Damit findest Du eine bessere Lipschitzkonstante als [mm] $1\,.$
[/mm]
Es ist dann aber trotzdem noch zu begründen, dass diese Lipschitzkonstante auch bestmöglich ist. Das macht man dann vielleicht durch zwei Folgen [mm] $(x_1^{(n)})_n$ [/mm] bzw. [mm] $(x_2^{(n)})_n\,,$ [/mm] die von links bzw. rechts gegen die Extremstelle laufen. Ich hoffe, dass das hier so funktioniert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hier bietet sich dann alo der Weg über die
> Funktionsuntersuchung an, es mag aber auch andere Wege
> geben.
ich habe - ehrlich gesagt - hier nicht gesehen, warum man da mit Differenzierbarkeit arbeiten sollte. Denn naheliegend wäre es gewesen, erstmal zu gucken, durch welche Zahl [mm] $|f'|\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist (sofern $|f'|$ beschränkt, was aber hier der Fall ist).
P.S.:
Ich glaube schon, dass man eine bessere Lipschitzkonstante als [mm] $1\,$ [/mm] findet. Untersuche die Extremstellen der ersten Ableitung und deren zugehörige Funktionswerte!!
Gruß,
Marcel
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Hey, Danke für die ausführliche erklärung :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bitte entschuldige meine dämliche Frage aber ich kann doch
> nur ein Extrema in einem kompakten Intervall berechnen
>
> Oder ist mein Intervall nun [0, [mm]\infty[[/mm]
mal nebenbei: [mm] $[0,\infty[$ [/mm] kann alleine schon wegen Unbeschränktheit nicht mehr kompakt (in [mm] $\IR$) [/mm] sein...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > mit reellen Zahlen kann man keine Induktion machen!
> > es ist doch leicht zu zeigen, dass das /le 1 ist, wenn
> es
> > dir mit 0.5 nicht geingt. und zwar direkt, ohne Induktion!
> > du musst ja nicht L=1 nehmen! es geht auch L=2
> > Gruss leduart
>
>
> hmm ok hast du es dann so gemeint:
>
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1 \ |*(1+r^2)[/mm]
>
> [mm]|r| \le 1 (1+r^2) [/mm]
>
> [mm]|r| \le 1 + r^2 [/mm] | - [mm]r^2[/mm]
>
> [mm]|r| - r^2 \le 1 [/mm]
>
> Und das gilt für alle r [mm]\in \IR.[/mm]
und warum gilt die letzte Ungleichung für alle $r [mm] \in \IR$?
[/mm]
Weil sie gleichbedeutend ist mit
[mm] $$|r|^2-|r|+1 \ge 0\,.$$
[/mm]
Und das wiederum folgt, weil wir erkennen
$$-|r| [mm] \ge [/mm] -2|r|$$
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$|r|^2-|r|+1 \ge |r|^2-2|r|+1=(|r|-1)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Du mußt das schon sauber begründen. Es reicht nicht, eine Ungleichung, deren Richtigkeit nicht ganz banal ist, in eine äquivalente umzuformen, wo man genausoviel/wenig sieht. Natürlich kannst Du auch anders beweisen, dass [mm] $|r|-r^2 \ge [/mm] 1$ ist. Ich sehe es aber so, dass auch das nicht ganz banal ist - daher bedarf es eines Beweises, dass dem so ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine ausführliche Antwort:
>
> Es belibt also das ich folgendes beweißen muss:
>
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1/2 \,.[/mm]
>
> Ich wäre mit induktion herangegangen
das wäre schlecht. Alleine schon, weil [mm] $\IR$ [/mm] noch nicht mal abzählbar ist...
Ich hatte Dir doch geschrieben, was zu tun ist - rechne es nochmal zur Übung nach:
[mm] $$(\star)\;\;\;|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2$$
[mm] $$\gdw [/mm] 2|r| [mm] \le 1+r^2=1+|r|^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw |r|^2-2|r|+1 \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw (|r|-1)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Da jede Zahl $t [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt [mm] $t^2 \ge 0\,,$ [/mm] gilt dies auch für [mm] $t:=|r|-1\,.$ [/mm] D.h.
[mm] $$(|r|-1)^2 \ge [/mm] 0$$
ist stets wahr. Die Behauptung in [mm] $(\star)$ [/mm] folgt also durch Lesen der Umformungen von unten nach oben unter Benutzung der [mm] $\Leftarrow\,.$ [/mm]
P.S.:
Alternativ hatte ich Dir vorgeschlagen:
Zeige
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le 1\,.$$
[/mm]
Wenn Du das mal nachrechnest, kommst Du zu der äquivalenten Form
[mm] $$|r|^2-|r|+1 \ge 0\,.$$
[/mm]
Dazu hatte ich Dir in der anderen Antwort geschrieben, warum diese Ungleichung wahr ist...
P.P.S.:
Zur Erinnerung:
Wir haben HIER nun nachgewiesen, dass für Deine vorgegebene Funktion [mm] $f\,$ [/mm] stets gilt
[mm] $$(I)\;\;\;|f(x_1)-f(x_2)|/|x_1-x_2| \le 1/2+1/2=1\,.$$
[/mm]
D.h. [mm] $L_0=1\,$ [/mm] ist eine (geeignete) Lipschitzkonstante für Deine Funktion [mm] $f\,.$
[/mm]
Natürlich, und ich will es aber dennoch nochmal erwähnen, folgt dann sofort, dass auch jede Zahl $L > [mm] L_0=1\,$ [/mm] geeignet wäre.
Denn aus [mm] $(I)\,$ [/mm] folgt sofort
[mm] $$|f(x_1)-f(x_2)|/|x_1-x_2| \le [/mm] L$$
für jedes $L > [mm] L_0=1\,.$
[/mm]
(Man kann aber, durch Wahl geeigneter [mm] $x_1,x_2$, [/mm] schonmal nachrechnen, dass jede Lipschitzkonstante hier insbesondere [mm] $\ge 1/2\,$ [/mm] sein muss: Etwa [mm] $x_1=0$ [/mm] und [mm] $x_2=1$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Danke für deine ausführliche Antwort:
> >
> > Es belibt also das ich folgendes beweißen muss:
> >
> > [mm]|r|/(1+r^2) \le 1/2 \,.[/mm]
> >
> > Ich wäre mit induktion herangegangen
>
> das wäre schlecht. Alleine schon, weil [mm]\IR[/mm] noch nicht mal
> abzählbar ist...
>
> Ich hatte Dir doch geschrieben, was zu tun ist - rechne es
> nochmal zur Übung nach:
> [mm](\star)\;\;\;|r|/(1+r^2) \le 1/2[/mm]
> [mm]\gdw 2|r| \le 1+r^2=1+|r|^2[/mm]
>
> [mm]\gdw |r|^2-2|r|+1 \ge 0[/mm]
> [mm]\gdw (|r|-1)^2 \ge 0\,.[/mm]
>
> Da jede Zahl [mm]t \in \IR[/mm] erfüllt [mm]t^2 \ge 0\,,[/mm] gilt dies auch
> für [mm]t:=|r|-1\,.[/mm] D.h.
> [mm](|r|-1)^2 \ge 0[/mm]
> ist stets wahr. Die Behauptung in [mm](\star)[/mm]
> folgt also durch Lesen der Umformungen von unten nach oben
> unter Benutzung der [mm]\Leftarrow\,.[/mm]
>
> P.S.:
> Alternativ hatte ich Dir vorgeschlagen:
> Zeige
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1\,.[/mm]
>
> Wenn Du das mal nachrechnest, kommst Du zu der
> äquivalenten Form
> [mm]|r|^2-|r|+1 \ge 0\,.[/mm]
>
> Dazu hatte ich Dir in der anderen Antwort geschrieben,
> warum diese Ungleichung wahr ist...
>
> P.P.S.:
> Zur Erinnerung:
> Wir haben HIER nun nachgewiesen, dass für Deine
> vorgegebene Funktion [mm]f\,[/mm] stets gilt
> [mm](I)\;\;\;|f(x_1)-f(x_2)|/|x_1-x_2| \le 1/2\,.[/mm]
> D.h.
> [mm]L_0=1/2\,[/mm] ist eine (geeignete) Lipschitzkonstante für
> Deine Funktion [mm]f\,.[/mm]
>
> Natürlich, und ich will es aber dennoch nochmal erwähnen,
> folgt dann sofort, dass auch jede Zahl [mm]L > L_0=1/2\,[/mm]
> geeignet wäre.
>
> Denn aus [mm](I)\,[/mm] folgt sofort
> [mm]|f(x_1)-f(x_2)|/|x_1-x_2| \le L[/mm]
> für jedes [mm]L > L_0=1/2\,.[/mm]
>
> (Man kann aber, durch Wahl geeigneter [mm]x_1,x_2[/mm] nachrechnen,
> dass jede Lipschitzkonstante hier insbesondere [mm]\ge 1/2\,[/mm]
> sein muss.)
Danke für deine Antwort ich hätte noch eine Frage dazu und zwar wenn, wir eine Lipschitzkonstante gefunden habe ist es doch gleichbedeutent mit, dass es Lipschitz-stetig ist oder?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort ich hätte noch eine Frage dazu
> und zwar wenn, wir eine Lipschitzkonstante gefunden habe
> ist es doch gleichbedeutent mit, dass es Lipschitz-stetig
> ist oder?
sagen wir es lieber so: Dann haben wir bewiesen, dass die Funktion (nicht "es") Lipschitz-stetig ist.
---
Wenn sie nicht Lipschitz-stetig ist, können wir keine solche Konstante finden, sondern wir finden für jedes $L > 0$ dann [mm] $x_1,x_2$ [/mm] (von [mm] $L\,$ [/mm] abhängig) mit
[mm] $$|f(x_2)-f(x_1)|/|x_2-x_1| [/mm] > [mm] L\,.$$
[/mm]
---
(Wenn das in "--- ... ---" geschrieben gilt, bedeutet das: Wir können dann keine Lipschitzkonstante finden, und wenn wir uns noch so abrackern!)
Andererseits kann es aber sehr mühsam sein, eine Lipschitzkonstante zu finden. D.h. nur, weil wir eine Lipschitzkonstante noch nicht gefunden haben, heißt es nicht, dass es keine gibt! Wenn Du allerdings den Satz, der in " --- ... ---" steht, bewiesen hast, dann hast Du auch gezeigt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht Lipschitz-stetig sein kann!
Gruß,
Marcel
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ok danke dir :) diese letzte Mitteilung hat mir echt ein paar Augen geöffnet .)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wollte nur nochmal erwähnen, dass ich ein wenig durcheinander geraten war. Die Abschätzung
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le [/mm] L$$
hat [mm] $L=1/2\,$ [/mm] als BESTMÖGLICHEN (also kleinsten positiven) Wert.
Die Lipschitzkonstante [mm] $L_0$ [/mm] für [mm] $f\,$ [/mm] mit der obigen Methode, wo auch die Dreiecksungleichung verwendet wurde, wäre dann natürlich nicht [mm] $1/2\,,$ [/mm] sondern [mm] $L_0=1/2+1/2=1\,.$ [/mm] Habe das in meiner Antwort korrigiert! Bitte achte(t) drauf und lasse Dich (laßt Euch) nicht verwirren, wenn ich das nochmal irgendwo falsch stehen habe. Korrigiert es gegebenfalls mit einer passenden Mitteilung. Ggf. editiere ich dann meine Antwort auch nochmal nachträglich!
Gruß,
Marcel
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