Lösbarkeit von LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
1. [mm] x_{1} [/mm] + [mm] s*x_{2} [/mm] + [mm] s*x_{3} [/mm] = 1
2. [mm] s*x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1
3. [mm] x_{1} [/mm] + [mm] s*x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = s
Für welche Werte von s ist obiges LGS eindeutig lösbar? Für welche s existieren keine bzw. viele Lösungen? Geben sie die Lösungsmenge für alle Fälle an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen:)
Allgemein kenne ich ein paar grundlegende 'Regeln' wann ein LGS lösbar ist und wann nicht. Also man kann ja zum Beispiel sagen, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt, ist das LGS nicht eindeutig lösbar. Oder wenn die jeweiligen Gleichungen linear abhängig sind.
Auch sehe ich zum Beispiel durch Ablesen, dass wenn s=1 ist zB das LGS keine eindeutige Lösung hat, weil dann eben alle Gleichungen identisch sind.
Nun komme ich allerdings nicht darauf, wie ich mit Hilfe einer Rechnung auf das Ergebnis komme. Für einen Ansatz, wie man das lösen kann wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank für jegliche Hilfe.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
> Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
>
> 1. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]s*x_{2}[/mm] + [mm]s*x_{3}[/mm] = 1
> 2. [mm]s*x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1
> 3. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]s*x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = s
>
> Für welche Werte von s ist obiges LGS eindeutig lösbar?
> Für welche s existieren keine bzw. viele Lösungen? Geben
> sie die Lösungsmenge für alle Fälle an.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es sind sicher der Gaußalgorithmus und die Zeilenstufenform bei Euch drangewesen.
Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) auf:
[mm] \pmat{1&s&s&|&1\\s&1&1&|&1\\1&s&1&|&s}.
[/mm]
Es gilt:
ist Rang(A)=Rang(A|b),
dann ist das LGS lösbar, andernfalls nicht.
Sofern das LGS lösbar ist:
ist der Rang= Anzahl der Variablen,
so gibt es eine eindeutige Lösung,
Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Variablen, so existieren viele Lösungen.
Du kannst jetzt die erweiterte Koeffizientenmatrix in ZSF umwandeln, unterwegs mußt Du u.U. verschiedene Fälle für s unterscheiden.
Du kannst Dir aber auch zuerst überlegen, daß der größte Rang, den A (und damit (A|b) ) haben kann, der Rang 3 ist.
In diesen Fällen ist die Lösung eindeutig.
Für welche s der Rang der Matrix 3 ist, kannst Du herausfinden, indem Du nachschaust, für welche s die Determinante der Matrix A von 0 verschieden ist.
Du wirst feststellen, daß dies für alle [mm] s\in\IR\setminus \{1,-1\} [/mm] der Fall ist.
Für [mm] s\in\IR\setminus \{1,-1\} [/mm] ist eine ZSF
[mm] \pmat{1&s&s&|&1\\0&1&1&|&0\\0&0&1&|&1},
[/mm]
hieraus bekommst Du dann die Lösung.
Anschließend untersuche die beiden Fälle s=1 und s=-1.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Erstmal vielen vielen Dank für die Antwort!
Allerdings verstehe ich noch nicht alles komplett. Wenn ich die Ursprüngliche Matrix versuche in die Zeilenstufenform zu bekommen, kriege ich nicht deine Lösung heraus.
[mm] \pmat{ s & s^2 & s^2 & | & s \\ 0 & s^2-1 & s^2-1 & | & s-1 \\ 0 & 0 & s-1 & | & s-1}
[/mm]
So sieht meine aus. Daraus bekomme ich dann natürlich auch andere Lösungen.
Aber habe ich es schon richtig verstanden, dass es für alle [mm] \IR [/mm] \ {-1,1} eine eindeutige Lösung gibt?
Und dann für s = 1 gibt es viele Lösungen und für s = -1 gibt es keine Lösung weil sich die ersten beiden Gleichungen widersprechen.
Stimmt das?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo mathephysik01,
> Erstmal vielen vielen Dank für die Antwort!
>
>
> Allerdings verstehe ich noch nicht alles komplett. Wenn ich
> die Ursprüngliche Matrix versuche in die Zeilenstufenform
> zu bekommen, kriege ich nicht deine Lösung heraus.
>
> [mm]\pmat{ s & s^2 & s^2 & | & s \\ 0 & s^2-1 & s^2-1 & | & s-1 \\ 0 & 0 & s-1 & | & s-1}[/mm]
>
> So sieht meine aus. Daraus bekomme ich dann natürlich auch
> andere Lösungen.
>
> Aber habe ich es schon richtig verstanden, dass es für
> alle [mm]\IR[/mm] \ {-1,1} eine eindeutige Lösung gibt?
> Und dann für s = 1 gibt es viele Lösungen und für s = -1
> gibt es keine Lösung weil sich die ersten beiden
> Gleichungen widersprechen.
>
> Stimmt das?
>
Ja, das hast Du vollkommen richtig verstanden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Perfekt. Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Kann man auch meine Zeilenstufenform so aufschreiben? Weil die von Angela vorhin war ja ziemlich anders und ich habe mal nachgerechnet es käme auch auf ziemlich andere Ergebnisse aus!
Aber super für die tolle Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hallo mathephysik01,
> Perfekt. Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
>
> Kann man auch meine Zeilenstufenform so aufschreiben? Weil
> die von Angela vorhin war ja ziemlich anders und ich habe
> mal nachgerechnet es käme auch auf ziemlich andere
> Ergebnisse aus!
>
Da ist dann wohl bei der Bildung der ZSF etwas schief gegangen.
> Aber super für die tolle Hilfe!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Erstmal vielen vielen Dank für die Antwort!
>
>
> Allerdings verstehe ich noch nicht alles komplett. Wenn ich
> die Ursprüngliche Matrix versuche in die Zeilenstufenform
> zu bekommen, kriege ich nicht deine Lösung heraus.
>
> [mm]\pmat{ s & s^2 & s^2 & | & s \\ 0 & s^2-1 & s^2-1 & | & s-1 \\ 0 & 0 & s-1 & | & s-1}[/mm]
>
> So sieht meine aus.
Hallo,
im Verlauf Deiner Rechnung hast Du die erste Zeile mit s multipliziert.
An dieser Stelle mußt Du notieren [mm] "s\not=0", [/mm] denn die Multiplikation mit 0 würde ja den Rang verändern.
Da Du also notiert haben solltest "für [mm] s\not=0", [/mm] kannst Du die erste Zeile durch s divideren,
und wenn Du notierst [mm] s\not=1 [/mm] und [mm] s\not=1,
[/mm]
so kannst Du auch Zeile 2 und 3 durch [mm] s^2-1 [/mm] bzw. s-1 dividieren und bekommst (EDIT: nahezu) meine ZSF.
Die Fälle s=0, s=1, s=-1 untersuchst Du dann halt gesondert.
LG Angela
> Daraus bekomme ich dann natürlich auch
> andere Lösungen.
>
> Aber habe ich es schon richtig verstanden, dass es für
> alle [mm]\IR[/mm] \ {-1,1} eine eindeutige Lösung gibt?
> Und dann für s = 1 gibt es viele Lösungen und für s = -1
> gibt es keine Lösung weil sich die ersten beiden
> Gleichungen widersprechen.
>
> Stimmt das?
>
> Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
>
> 1. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]s*x_{2}[/mm] + [mm]s*x_{3}[/mm] = 1
> 2. [mm]s*x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1
> 3. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]s*x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = s
>
> Für welche Werte von s ist obiges LGS eindeutig lösbar?
die Frage nach der Eindeutigen Lösbarkeit kann man mit der Determinante
beantworten:
[mm] $\det\pmat{1& s&s\\s&1&1\\1&s&1}=1*1*1+s*1*1+s*s*s-1*1*s-s*1*1-1*s*s=1+s+s^3-s-s-s^2=s^3-s^2-s+1$
[/mm]
Genau dann, wenn diese Determinante nicht Null ist, ist das LGS eindeutig
lösbar.
Wann ist also
[mm] $s^3-s^2-s+1=0$?
[/mm]
Test: Klar ist, dass [mm] $s=1\,$ [/mm] die letzte Gleichung erfüllt.
Polynomdivision:
[mm] $(s^3-s^2-s+1):(s-1)=s^2-1$
[/mm]
(Test: [mm] $(s^2-1)*(s-1)=s^3-s-s^2+1=s^3-s^2-s+1$ [/mm] )
Wegen [mm] $s^2-1=(s+1)*(s-1)$ [/mm] also:
Für alle
$s [mm] \notin \{-1,\,1\}$
[/mm]
ist das GS eindeutig lösbar.
P.S. Der Grund, warum ich das so gemacht habe: Ist $A [mm] \in \IR^{n \times n}$, [/mm] so
ist [mm] $A\,$ [/mm] genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det(A) \neq [/mm] 0$ ist.
Eventuell habt ihr diesen Satz schon zur Verfügung.
Und es gibt auch mehrere Möglichkeiten, die Determinante konkret
auszurechnen (Laplace, ...):
Ich habe es mit der ![[]](/images/popup.gif) Regel von Sarrus getan...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Das mit der Determinate hatte ich auch vorher mal gehört.
Gibt es da eine plausible Erklärung dazu oder beruht das auf einer langen Herleitung?
Also verstehe den Rechenweg auf alle Fälle nur halt einfach die Frage woher das kommt.
Aber Determinante bestimmen ist kein Problem auch wenn ich es immer mit Laplace mache!:)
Ich bedanke mich für all die Antworten und glaube es verstanden zu haben.
Danke, angela, dass du mich drauf hingewiesen hast, dass es fast das selbe ist - vielleicht habe ich ja einen kleinen Fehler gemacht - das wäre natürlich super, wenns dann ganz passen würde!
Schönen Abend euch noch!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das mit der Determinate hatte ich auch vorher mal gehört.
> Gibt es da eine plausible Erklärung dazu oder beruht das
> auf einer langen Herleitung?
ist eine lange Herleitung unplausibel? ^^
Naja, man braucht schon einiges an Vorkenntnisse dafür, siehe etwa
Kapitel 11 hier!
> Also verstehe den Rechenweg auf alle Fälle nur halt
> einfach die Frage woher das kommt.
Was genau? Die Aussage: "A invertierbar [mm] $\iff$ [/mm] det A [mm] $\neq [/mm] 0$" findest Du in dem
besagten Kapitel. Das Ausrechnen einer 3 x 3-Determinante sollte aber
keine Probleme machen, oder?
> Aber Determinante bestimmen ist kein Problem auch wenn ich
> es immer mit Laplace mache!:)
Ah, okay, damit erledigt sich die letzte Frage. Mir ging' es auch mehr darum,
dass Du diesen Rechenweg auch mal gesehen hast. Gerade bei Klausuraufgaben
kann man mit der Determinante vieles schnell (und meist mit weniger
Rechenfehlerwahrscheinlichkeit) erschlagen. Während man sich auf
anderen Wegen oft einen Wolf rechnet. (Übrigens gibt es da gerade eine
Diskussion mit rabilein, vielleicht sollte er *sowas wie hier* auch mal lesen;
denn er war der Meinung, dass man meist alles viel zu kompliziert löse in
der Mathematik!)
> Ich bedanke mich für all die Antworten und glaube es
> verstanden zu haben.
> Danke, angela, dass du mich drauf hingewiesen hast, dass
> es fast das selbe ist - vielleicht habe ich ja einen
> kleinen Fehler gemacht - das wäre natürlich super, wenns
> dann ganz passen würde!
>
> Schönen Abend euch noch!!
Wenn noch irgendwas unklar ist, dann frage ruhig auch nochmal das Forum,
indem Du die Frage konkret formulierst. Einfach dranhängen (aber im
passenden Zshg. bringen).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
