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| Aufgabe | Sei A [mm] \in GL_{n}\IR [/mm] (ist die Gruppe der Menge der invertierbaren Gruppen mit der Matrixmultiplikation) mit Einträgen aus [mm] \IZ. [/mm] Zeigen sie folgende Aussagen:
a) [mm] A^{-1} \in \IQ^{n,n}
[/mm]
b) [mm] A^{-1} \in \IZ^{n,n} [/mm] genau dann, wenn [mm] det(a)=\pm1
[/mm]
c) Das lineare Gleichnungssystem Ax = b hat für jedes b [mm] \in \IZ^{n,1} [/mm] eine eindeutige Lösung [mm] x_{0} \in \IZ [/mm] genau dann, wenn [mm] det(a)=\pm1 [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht so ganz wie ich diese Aussagen beweisen soll, ich fang mal mit dem an, was ich bisher rausgefunden habe.
zu a) Wenn man allgemein Matrizen [mm] \in \IZ^{n,n} [/mm] invertiert(wie z.B mit dem Gaußalgorithmus usw.), dann werden dazu doch nur die Elementaroperationen benötigt(also Addition, Subtrktion, Multiplikation, division), und das hat doch höchstens zur folge, das bei der Division von ganzen Zahlen eine rationale Zahl der Ergebnis ist(und rationale Zahlen sind bzgl. Elementaroperationen abgeschlossen). dass heisst [mm] A^{-1} [/mm] muss in [mm] \IQ^{n,n} [/mm] liegen, aber wie schreib ich sowas formal korrekt auf??
zu b) Wenn ich weiss, dass det(a)= [mm] \pm1 [/mm] ist, dann weiss ich doch, dass ich die Matrix auf folgende Form bringen kann:
[mm] \pmat{ \pm1 & * & * & * \\ 0 & \pm1 & * & * \\ 0 & 0 & \pm1 & * \\ 0 & 0 & 0 & \pm1 } [/mm] (dass heißt also untere oder obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen [mm] \pm1).
[/mm]
Um so eine Matrix zu invertieren, muss man doch nur Zeilen miteinander addieren, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen, was ja zur folge hat, das die invertierte Matrix wieder [mm] \in \IZ^{n,n} [/mm] ist.
Ach hier weiss ich einfach nicht, wie man sowas formal beweisen soll.
c) Hier hab auch schon ein paar Gedanken, die aber noch sortiert werden müssen.
Hoffe man kann jemand helfen.
Nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 19.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
zu a) nicht jedes Inverse hat unbedingt automatisch Einträge aus [mm] $\IQ$, [/mm] nimm z.B die einheitsmatrix..
es reicht also ein Beispiel um zu zeigen, dass ein [mm] A^{-1} [/mm] rationale Einträge haben kann (die nicht ganzzahlig sind)
viele Grüße
DaMenge
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Aber wenn da steht, "zeigen sie folgende Aussagen", dann kann es doch nicht reichen, einfach ein Beispiel anzugeben, oder??!!
wenn man kurz nachdenkt, sind diese Aussagen ja logisch, aber es muss doch einen weg geben, dass irgendwie zu zeigen?????
MFG
N
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Nansen |
Hier stand Unsinn...
Sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 20.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast natürlich recht:
du musst zum einen zeigen, dass Einträge in [mm] $\IQ\backslash \IZ$ [/mm] entstehen können (dafür reicht ein Beispiel) und du musst natürlich auch noch zeigen, dass KEINE einträge in [mm] $\IR\backslash \IQ$ [/mm] entstehen.
(dafür hast du dir aber schon eigentlich eine gute Argumentation überlegt - mach das einfach noch mit einem beliebigen Eintrag [mm] a_{ij} [/mm] der Matrix, dann ist es formal genug)
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 20.12.2006 | | Autor: | toggit |
> Sei A [mm]\in GL_{n}\IR[/mm] (ist die Gruppe der Menge der
> invertierbaren Gruppen mit der Matrixmultiplikation) mit
> Einträgen aus [mm]\IZ.[/mm] Zeigen sie folgende Aussagen:
> a) [mm]A^{-1} \in \IQ^{n,n}[/mm]
> b) [mm]A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm] genau
> dann, wenn [mm]det(a)=\pm1[/mm]
> c) Das lineare Gleichnungssystem Ax = b hat für jedes b
> [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] eine eindeutige Lösung [mm]x_{0} \in \IZ[/mm] genau
> dann, wenn [mm]det(a)=\pm1[/mm]
>
hallo
ich setze grade auch dabei und mit punkt c) bekomme nicht vernunftiges
da [mm] det(A)=\pm [/mm] 1 A kann man zu oberen oder unteren dreiecksmatrix bringen,
und genau dann hat gleichungssystem eindeutige lösung, aber wie ich das beweise?
hat jemand ne idee?
danke toggit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 20.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> da [mm]det(A)=\pm[/mm] 1 A kann man zu oberen oder unteren
> dreiecksmatrix bringen,
> und genau dann hat gleichungssystem eindeutige lösung,
> aber wie ich das beweise?
Hm? Du hast doch die b), dass in disem Fall die Inverse ja wieder blos [m]\IZ[/m]-Koeffizienten hat. Dann konstruiere dir die x doch einfach!
umkehrung: für b durchlaufe mal die Einheitsvektoren - die x geben dann Spalten, die eine passende Inverse-Matrix ergeben!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 21.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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