Lösen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 19.01.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
[mm] y'(x)=-12x^{2}y(x)+x^{2}+2x^{5} [/mm] |
Kann mir bitte jemand sagen, welchen Ansatz ich hier am besten wähle? Ich weiß grade nicht wie ich die Aufgabe angehen soll....
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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Hallo [mm] b^2,
[/mm]
machen wirs mal anders. Ich verrate Dir die Lösung und Du findest den Weg dazu. 
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
>
> [mm]y'(x)=-12x^{2}y(x)+x^{2}+2x^{5}[/mm]
Gewöhnliche lineare DGl. - das kann doch nicht sooo schwer sein...
> Kann mir bitte jemand sagen, welchen Ansatz ich hier am
> besten wähle? Ich weiß grade nicht wie ich die Aufgabe
> angehen soll....
[mm] y(x)=\blue{\rmb{c}}*e^{-4x^3}+\br{1}{12}x^3+\br{7}{48}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Di 21.01.2014 | | Autor: | bquadrat |
Die homogene Lösung, also [mm] C_{1}e^{-4x^{3}} [/mm] habe ich herausbekommen, das ist nicht all zu schwer mit dem Ansatz dass [mm] y_{H}=e^{\lambda(x)} [/mm] ist und somit [mm] y_{H}'(x)=\lambda'(x)e^{\lambda(x)} [/mm] ist.
[mm] \Rightarrow e^{\lambda(x)}[\lambda'(x)+12x^2]=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda'(x)=-12x^2 \Rightarrow \lambda(x)=-12\integral{x^2dx}=-4x^3+C_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{H}(x)=C_{2}e^{-4x^3}
[/mm]
Bei der partikulären Lösung würde ich den Ansatz [mm] y_{P}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D [/mm] machen, komme jedoch nicht auf das selbe Ergebnis wie du.....
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Hallo nochmal,
das ist doch schonmal ein guter Anfang, dass wir die gleiche homogene Lösung haben. Ab da hat mindestens einer von uns sich verrechnet. Ich hab meins gerade nochmal überprüft und finde keinen Fehler - was nichts heißt.
> Die homogene Lösung, also [mm]C_{1}e^{-4x^{3}}[/mm] habe ich
> herausbekommen, das ist nicht all zu schwer mit dem Ansatz
> dass [mm]y_{H}=e^{\lambda(x)}[/mm] ist und somit
> [mm]y_{H}'(x)=\lambda'(x)e^{\lambda(x)}[/mm] ist.
> [mm]\Rightarrow e^{\lambda(x)}[\lambda'(x)+12x^2]=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda'(x)=-12x^2 \Rightarrow \lambda(x)=-12\integral{x^2dx}=-4x^3+C_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_{H}(x)=C_{2}e^{-4x^3}[/mm]
> Bei der partikulären
> Lösung würde ich den Ansatz [mm]y_{P}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D[/mm]
> machen, komme jedoch nicht auf das selbe Ergebnis wie
> du.....
Der Ansatz ist ok. Rechne doch mal vorsichtig vor.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die homogene Lösung, also [mm]C_{1}e^{-4x^{3}}[/mm] habe ich
> herausbekommen, das ist nicht all zu schwer mit dem Ansatz
> dass [mm]y_{H}=e^{\lambda(x)}[/mm] ist und somit
> [mm]y_{H}'(x)=\lambda'(x)e^{\lambda(x)}[/mm] ist.
> [mm]\Rightarrow e^{\lambda(x)}[\lambda'(x)+12x^2]=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda'(x)=-12x^2 \Rightarrow \lambda(x)=-12\integral{x^2dx}=-4x^3+C_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_{H}(x)=C_{2}e^{-4x^3}[/mm]
> Bei der partikulären
> Lösung würde ich den Ansatz [mm]y_{P}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D[/mm]
> machen, komme jedoch nicht auf das selbe Ergebnis wie
> du.....
Ob Du Dich verrechnet hast, kann ich nicht wissen. Der reverend hat sich jednfalls verrechnet !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Ob Du Dich verrechnet hast, kann ich nicht wissen. Der
> reverend hat sich jednfalls verrechnet !
Sag ich doch: mindestens einer von uns beiden. Ich such auch mal...
Danke fürs Nachrechnen und Grüße!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Ob Du Dich verrechnet hast, kann ich nicht wissen. Der
> > reverend hat sich jednfalls verrechnet !
>
> Sag ich doch: mindestens einer von uns beiden. Ich such
> auch mal...
>
> Danke fürs Nachrechnen und Grüße!
> reverend
Hallo rev,
dass Du Dich verrechnet hast, sieht man an [mm] \br{1}{12}x^3.
[/mm]
[mm] $-12x^2*\br{1}{12}x^3=-x^5 \ne -2x^5$
[/mm]
Grüße FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred, hallo [mm] b^2,
[/mm]
Fehler gefunden.
[mm] y(x)=c*e^{-4x^3}+\bruch{1}{6}x+\bruch{1}{24}
[/mm]
Jetzt sollte es aber stimmen.
Habt Ihr das auch?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, hallo [mm]b^2,[/mm]
>
> Fehler gefunden.
>
> [mm]y(x)=c*e^{-4x^3}+\bruch{1}{6}x+\bruch{1}{24}[/mm]
>
> Jetzt sollte es aber stimmen.
Nein.
> Habt Ihr das auch?
Ich jedenfalls nicht. Ich habe: [mm]y(x)=c*e^{-4x^3}+\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{24}[/mm]
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > [mm]y(x)=c*e^{-4x^3}+\bruch{1}{6}x+\bruch{1}{24}[/mm]
> >
> > Jetzt sollte es aber stimmen.
>
> Nein.
>
> > Habt Ihr das auch?
>
> Ich jedenfalls nicht. Ich habe:
> [mm]y(x)=c*e^{-4x^3}+\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{24}[/mm]
Jetzt hab Dich mal nicht so wegen eines mickrigen Exponenten. Warten wir mal auf eine Abstimmung oder jemanden, der so gerne tippt, dass er/sie es hier vorrechnet.
Grüße
reverend
PS: Übrigens - schonmal WolframAlpha probiert? Das ist ja auch nicht ganz fehlerfrei, aber schon ziemlich gut.
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