Lösen eines Gleichungssystems < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 So 16.11.2008 | | Autor: | Leipziger |
| Aufgabe | Aufgabe 1)
Sei n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 und seien [mm] b_1 [/mm] ,..., [mm] b_n \in \IQ. [/mm] Wir setzen b:= [mm] \bruch{b_1 +...+ b_n }{n-1}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (b-b_n [/mm] ,..., [mm] b-b_1 )\in \IQ [/mm] einzige Lösung des lin. Gleichungssystems
[mm] x_1 [/mm] + ............ [mm] +x_{n-2}+x_{n-1} [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + ............ [mm] +x_{n-2}+ [/mm] + [mm] x_n [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
.
.
[mm] x_2+ [/mm] ..... [mm] +x_{n-2}+x_{n-1}+ x_n [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
ist [mm] (x_1,x_2,.. [/mm] Unbestimmte)
Aufgabe 2)
Gegeben Sei ein Lin. Gleichungssytem in n Unbestimmten (n [mm] \in \IN) [/mm] mit reellen Koeffinzienten und Lösungsmenge L [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] Zeigen sie dass die folgenden Bedingungen äquivalten sind:
(i) System ist homogen
(ii) L [mm] \not= \emptyset [/mm] und für alle r,n [mm] \in [/mm] L gilt r-n [mm] \in [/mm] L |
Aufgabe 1)
Ansatz:
addiere alle zeilen zueinander
=>
[mm] (n-1)x_1 [/mm] + ... + [mm] (n-1)x_n [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + ... + [mm] b_n
[/mm]
dann (n-1) ausklammern und durch (n-1) teilen
=>
[mm] x_1+...+x_n [/mm] = [mm] (b_1+...+b_n)/(n-1)
[/mm]
das in die lösungsmenge einsetzen
=>
[mm] (\bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)}) [/mm] - [mm] b_n [/mm] + ... + [mm] (\bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)}) [/mm] - [mm] b_1 [/mm] = [mm] \bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)}
[/mm]
==>
[mm] n(b_1+...+b_n) [/mm] - [mm] (n-1)(b_1+...+b_n)= b_1+...+b_n \Box
[/mm]
So, und wie zeigt man nun, dass dies wirklich die einzige Lösung ist?
Aufgabe 2)
Also das L [mm] \not= \emptyset [/mm] ist klar. Aber was mache ich mit dem 2. Teil und warum gilt das für alle? Für r=n=0 klar, aber muss ja für alle gelten.
Hoffe es kann mir da geholfen werden.
Mfg Leipziger
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> Aufgabe 1)
> Sei n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 und seien [mm]b_1[/mm] ,..., [mm]b_n \in \IQ.[/mm]
> Wir setzen b:= [mm]\bruch{b_1 +...+ b_n }{n-1}.[/mm] Zeigen Sie,
> dass [mm](b-b_n[/mm] ,..., [mm]b-b_1 )\in \IQ[/mm] einzige Lösung des lin.
> Gleichungssystems
>
> [mm]x_1[/mm] + ............ [mm]+x_{n-2}+x_{n-1}[/mm] = [mm]b_1[/mm]
> [mm]x_1[/mm] + ............ [mm]+x_{n-2}+[/mm] + [mm]x_n=b_\red{2}[/mm]
> .
> .
> [mm]x_2+[/mm] ..... [mm]+x_{n-2}+x_{n-1}+ x_n =b_\red{n}[/mm]
>
> ist [mm](x_1,x_2,..[/mm] Unbestimmte)
>
>
> Ansatz:
> addiere alle zeilen zueinander
>
> =>
> [mm](n-1)x_1[/mm] + ... + [mm](n-1)x_n[/mm] = [mm]b_1[/mm] + ... + [mm]b_n[/mm]
> dann (n-1) ausklammern und durch (n-1) teilen
> =>
> [mm]x_1+...+x_n[/mm] = [mm](b_1+...+b_n)/(n-1)[/mm]
> das in die lösungsmenge einsetzen
> =>
> [mm](\bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)})[/mm] - [mm]b_n[/mm] + ... +
> [mm](\bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)})[/mm] - [mm]b_1[/mm] =
> [mm]\bruch{(b_1+...+b_n)}{(n-1)}[/mm]
> ==>
> [mm]n(b_1+...+b_n)[/mm] - [mm](n-1)(b_1+...+b_n)= b_1+...+b_n \Box[/mm]
>
> So, und wie zeigt man nun, dass dies wirklich die einzige
> Lösung ist?
hallo Leipziger,
Die linke Seite der gegebenen i-ten Gleichung ist ja
einfach gleich [mm] \left(\summe_{k=1}^{n}x_k\right) -x_i=[/mm] [mm](b_1+...+b_n)/(n-1)[/mm][mm] -x_i=b-x_i [/mm]
Also haben wir
[mm] b-x_i =b_i [/mm] oder eben [mm] x_i=b-b_i
[/mm]
[mm] x_i [/mm] ist also eindeutig bestimmt, natürlich für jedes [mm] i\in\{1,2, ... ,n\}
[/mm]
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 16.11.2008 | | Autor: | Leipziger |
Danke für die schnelle Antwort. Sehr einleuchtend.
Mfg Leipziger
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Hat keiner eine Idee, wie man den Schluss von i auf ii zeigen kann?
Mfg Leipziger
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Aufgabe 2:
Aufgabe 2)
Gegeben Sei ein Lin. Gleichungssytem in n Unbestimmten (n $ [mm] \in \IN) [/mm] $ mit reellen Koeffinzienten und Lösungsmenge L $ [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] $ Zeigen sie dass die folgenden Bedingungen äquivalten sind:
(i) System ist homogen
(ii) L $ [mm] \not= \emptyset [/mm] $ und für alle r,n $ [mm] \in [/mm] $ L gilt r-n $ [mm] \in [/mm] $ L
> Hat keiner eine Idee, wie man den Schluss von i auf ii
> zeigen kann?
Hallo,
ich denke schon, daß hier jemand eine Idee hat, aber zunächst mal interessieren wir uns brennend für das, was Du Dir bisher diesbezüglich überlegt hast.
Zeigen möchtest Du:
(ii) L $ [mm] \not= \emptyset [/mm] $ und für alle r,n $ [mm] \in [/mm] $ L gilt r-n $ [mm] \in [/mm] $ L
==>
(i) System ist homogen.
Sei Ax=b das LGS mit Lösungsmenge L.
Was bedeutet r,n $ [mm] \in [/mm] $ L?
Was bedeutet r-n [mm] \in [/mm] L ?
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß das GS homogen ist?
Gruß v. Angela
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Sei Ax=b das LGS mit Lösungsmenge L.
Was bedeutet r,n $ [mm] \in [/mm] $ L?
> r und n sind Lösungen des Gleichungssystems
Was bedeutet r-n $ [mm] \in [/mm] $ L ?
> das r - n wieder eine Lösung des GLS ist
Also ich weiß einfach nicht wie man das zeigen kann, bzw. ob ich das richtig verstehe... wenn r=n=0, wäre es klar, nur das kann ja nicht die Lösung sein.
Und Angela, wenn ich selbst eine Idee hätte, wie ich das zeigen könnte, dann würde ich doch hier nicht nach Hilfe suchen. Ich verlange keine Lösungen, nur vllt eine Idee wie man die Sache angehen könnte.
Mfg Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir sind also bei (ii) ==> (i)
Da L [mm] \not= \emptyset, [/mm] hat das Gl. -System eine Lösung r. Nach Vor. ist r-r = 0 eine Lösung. Was bedeutet das wohl für die reche Seite in Ax = b ???????
FRED
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Hallo,
so noch mal anders. Ich muss mehrere Äquivalenzbeziehungen zeigen, und somit wäre es sinnvoller, wenn ich Zeige aus (i) ==> (ii)
So mein Ansatz:
Sei Ax=b homogenes GLS ==> Ax=0.
Damit folgt, das GLS hat zumindest die Nulllösung.
==> r=n und somit x=0.
Aber damit hab ich leider noch keinen Beweis oder?
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> Hallo,
>
> so noch mal anders. Ich muss mehrere Äquivalenzbeziehungen
> zeigen, und somit wäre es sinnvoller, wenn ich Zeige aus
> (i) ==> (ii)
>
> So mein Ansatz:
>
> Sei Ax=b homogenes GLS ==> Ax=0.
>
> Damit folgt, das GLS hat zumindest die Nulllösung.
Hallo,
ja, und damit ist L nichtleer, denn [mm] 0\in [/mm] L.
> Aber damit hab ich leider noch keinen Beweis oder?
Du mußt nun weitermachen.
Nimm an, es wären n,r zwei Lösungen, also aus L. Was bedeutet das?
Nun berechne A(n-r)=...
Gruß v. Angela
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A(r-n) = A(r)-A(n) = 0-0 = 0 .. wenn ich das richtig verstanden habe
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> A(r-n) = A(r)-A(n) = 0-0 = 0 .. wenn ich das richtig
> verstanden habe
Hallo,
ja, so isses.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Leipziger |
So, nochmal danke für die Hilfe.
Mfg Leipziger
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