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Forum "Integration" - Lösen eines Integrals
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Lösen eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Do 25.10.2007
Autor: omni-vi

Aufgabe

[mm] \integral_{R}^{r}{\bruch{dr'}{\wurzel{\bruch{1}{R}+\bruch{1}{r'}}}} [/mm]

Hallo Leute,
ich schaffe es einfach nicht das Integral zu lösen. Hab mich auch schon rangesetzt, aber ich bekomme als Lösungen dann immer Ausdrücke die einfach nicht stimmen können. Das Integral ist eingentlich nur ein kleiner Teil einer Aufgabe, und da ich die geeignete Substitutionsfunktion für die Lösung nicht finde, komme ich mit der ganzen Aufgabe nicht weiter.
Ich wäre für die Lösung echt dankbar :-)!
        
Bezug
Lösen eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Do 25.10.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo omni-vi,


Wenn ich das Computeralgebrasystem []Axiom darauf ansetze, erhalte ich:


[mm] \left[ {{{R \ {\sqrt {R}} \ {\log \left( {{{{\left( -{8 \ {r \sp 2}} -{4 \ R \ r} \right)} \ {\sqrt {{{r+R} \over {R \ r}}}} \ {\sqrt {R}}}+{8 \ {r \sp 2}}+{8 \ R \ r}+{R \sp 2}}} \right)}} -{R \ {\sqrt {R}} \ {\log \left( {{-{{12} \ {R \sp 2} \ {\sqrt {{2 \over R}}} \ {\sqrt {R}}}+{{17} \ {R \sp 2}}}} \right)}} -{4 \ {R \sp 2} \ {\sqrt {{2 \over R}}}}+{4 \ R \ r \ {\sqrt {{{r+R} \over {R \ r}}}}}} \over 4}, \: {{R \ {\sqrt {-R}} \ {\arctan \left( {{{R \ {\sqrt {{2 \over R}}}} \over {\sqrt {-R}}}} \right)}} -{R \ {\sqrt {-R}} \ {\arctan \left( {{{R \ {\sqrt {{{r+R} \over {R \ r}}}}} \over {\sqrt {-R}}}} \right)}} -{{R \sp 2} \ {\sqrt {{2 \over R}}}}+{R \ r \ {\sqrt {{{r+R} \over {R \ r}}}}}} \right] [/mm]


Wie man darauf kommt, oder ob es richtig ist und dir sogar hilft, kann ich nicht sagen. Offenbar sind es hier zwei mögliche Lösungen!? [verwirrt]



Viele Grüße
Karl



Bezug
        
Bezug
Lösen eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Do 25.10.2007
Autor: rainerS

Hallo,

>
> [mm]\integral_{R}^{r}{\bruch{dr'}{\wurzel{\bruch{1}{R}+\bruch{1}{r'}}}}[/mm]

Probier die Substitution [mm]s=\wurzel{\bruch{1}{R}+\bruch{1}{r'}}[/mm]. Dann ist

[mm]r' = \bruch{1}{s^2-1/R} \implies \bruch{dr'}{ds} = \bruch{-2s}{(s^2-1/R)^2}[/mm]

und das (unbestimmte) Integral

[mm] - 2\integral \bruch{ds}{(s^2-1/R)^2}[/mm]

das du durch partielle Integration mit
[mm]u' = \bruch{-2s}{(s^2-1/R)^2}[/mm] und [mm]v=\bruch{1}{s}[/mm]
und anschließende Partialbruchzerlegung lösen kannst.

  Viele Grüße
    Rainer
Bezug
                
Bezug
Lösen eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:02 Fr 26.10.2007
Autor: omni-vi

Hallo Rainer,
danke für deine Antwort. Das ist die Lösung, auf die ich auch schon gekommen bin. Ich dache aber immmer, dass das zu kompliziert ist, da in der Lösung ein Arctanh vorkommt. Da du jetzt auch zu dieser Lösung kommst, wird sie es wohl doch sein.

Beste Grüße
Sebastian
Bezug
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