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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Sei [mm] $\(z \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\(z:=a+ib$ [/mm] und [mm] $\(a,b \in \IR$. [/mm] Berechnen sie die Real- und Imaginärteile aller komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
[mm] (a)$\(z^2=c$
[/mm]
[mm] (b)$z^2+4z-i+4=0$
[/mm]
Es wurde noch dazu gesagt, dass für (a) gilt: $c [mm] \in \IC$ [/mm] |
Erstmal zur (a):
Ich habe so angefangen:
[mm] $z^2=c$
[/mm]
[mm] $(a+bi)^2=c$
[/mm]
[mm] $a^2+2abi+b^{2}i^2=c$
[/mm]
[mm] $a^2-b^2+2abi=c$
[/mm]
Dann würde ich sagen, dass [mm] $\(c$ [/mm] die Form [mm] $\(c=x+yi$ [/mm] besitzt.
Sollen zwei komplexe Zahlen gleich sein, so muss ihr Real- bzw. Imaginärteil gleich sein.
Also kann ich sagen:
[mm] 1.$a^2-b^2=x$
[/mm]
2.$2ab=y$
Jetzt komme ich aber nicht weiter, ich müsste doch jetzt nach a bzw b auflösen.
Die 2.Gleichung würde ergeben:
[mm] $b=\bruch{y}{2a}$
[/mm]
Das könnte ich in die erste Gleichung einsetzen und würde erhalten:
[mm] $a^2-\bruch{y^2}{4a^2}=x$
[/mm]
also:
[mm] $4a^4-4xa^2-y^2=0$
[/mm]
Aus [mm] $u=a^2$ [/mm] folgt:
[mm] $4u^2-4xu-y^2=0$
[/mm]
[mm] $u^2-xu-\bruch{y^2}{4}=0$
[/mm]
Jetzt könnte ich ja die pq-Formel anwenden, aber ich komme auf keine guten Ergebnisse. Deswegen frage ich mich, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist..
lg,
nhard
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Hallo,
wenn c [mm] \in \IR [/mm] liegt, dann ist in deinem ansonsten vernünftigen Ansatz y=0.
Also:
[mm]a^{2}-b^{2} = c[/mm]
und
[mm]2a*b = 0[/mm]
Die zweite Gleichung ist jetzt schöner und du kannst daraus die beiden möglichen Fälle ableiten:
a= 0 oder b = 0 (oder beides gleichzeitig, dann ist aber auch c=0 und die Gleichung unnütz).
Daraus kannst du dann die beiden Lösungen ermitteln - die hängen natürlich von c ab.
Also: Idee gut, aber benutze auch die Informationen, die du gegeben hast  .
Und Beispiel 2 geht dann genauso mit Vergleich von Real- und Imaginärteil.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 08.12.2010 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Hilfe!
Oh je,ich muss leider sagen, dass ich falsche Angaben gemacht habe...
Es muss heißen:
[mm] $c\in \IC$ [/mm]
Sorry, mein Fehler..
Aber mein Ansatz ist der richtige?
lg (und sorry nochmal :( )
nhard
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Ja, der Ansatz müsste passen - ist auch wirklich nicht so schön zu rechnen.
Einzige Anmerkung: Du brauchst für die Rechnung trotzdem noch die Fallunterscheidung mit a=0, denn du dividierst ja dadurch.
Aber klar: Wenn a = 0, dann bekommt man eine einfache reelle quadratische Gleichung, ebenso wenn b=0 ist.
Und beim Lösen der biquadratischen Gleichung muss man die entsprechenden Einschränkungen, die aus den Termen unter den Wurzeln herrühren beachten.
Manchmal hilft auch der Ansatz mit der Polardarstellung einer komplexen Zahl, wenn man mit Imaginär- und Realteil nicht weiter kommt. Aber hier bei dieser einfachen Gleichung....
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 08.12.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm, ich probiere es einfach mal indem ich stur einsetze:
Ausgangsgleichung:
$ u^2-xu-\bruch{y^2}{4}=0 $
Demnach ist $\bruch{p}{2}=-\bruch{x}{2}$ bzw. $(\bruch{p}{2})^2=\bruch{x^2}{4}$
Entsprechend $\(q=-\bruch{y^2}{4}$
Nach Anwenden der pq-Formel erhalte ich:
$u_1,_2=\bruch{x}{2} \pm \wurzel{\bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{4}}$
Das kann ich jetzt bisschen umformen und würde erhalten:
$u_1,_2=\bruch{x\pm |c|}{2}$
Aus $\(u=a^2$ erhalte ich:$\(a=\pm \wurzel{\bruch{x+|c|}{2}$
(ich nehme nur den positiven "u-Wert" da ja $\(a\in \IR$ und $\(x<|c|$)
Entsprechend bekomme ich für $b_1,_2=\bruch{y}{\pm \wurzel{(x+|c|)*2}}
Für den Fall $\(a=0 ist $\(b=\wurzel{-x}$ wobei $\(x\le 0$ sein muss.
Ich weiß nicht, sind das sinnvolle Lösungen?
lg,
nhard
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> Hm, ich probiere es einfach mal indem ich stur einsetze:
>
> Ausgangsgleichung:
> [mm]u^2-xu-\bruch{y^2}{4}=0[/mm]
>
> Demnach ist [mm]\bruch{p}{2}=-\bruch{x}{2}[/mm] bzw.
> [mm](\bruch{p}{2})^2=\bruch{x^2}{4}[/mm]
>
> Entsprechend [mm]\(q=-\bruch{y^2}{4}[/mm]
>
> Nach Anwenden der pq-Formel erhalte ich:
>
> [mm]u_1,_2=\bruch{x}{2} \pm \wurzel{\bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{4}}[/mm]
>
> Das kann ich jetzt bisschen umformen und würde erhalten:
>
> [mm]u_1,_2=\bruch{x\pm |c|}{2}[/mm]
> Aus [mm]\(u=a^2[/mm] erhalte ich:[mm]\(a=\pm \wurzel{\bruch{x+|c|}{2}[/mm]
> (ich nehme nur den positiven "u-Wert" da ja [mm]\(a\in \IR[/mm] und
> [mm]\(x<|c|[/mm])
Das sind dann die 2 a-Werte der Lösungen der Gleichung (die Gleichung hat ja genau 2 Lösungen).
>
> Entsprechend bekomme ich für [mm]$b_1,_2=\bruch{y}{\pm \wurzel{(x+|c|)*2}}[/mm]
Unsauber notiert, aber eigentlich okay:
[mm]$b_1,_2=\pm \bruch{y}{2 * \wurzel{(x+|c|)}}[/mm]
>
> Für den Fall [mm]$\(a=0[/mm] ist [mm]$\(b=\wurzel{-x}$[/mm] wobei [mm]$\(x\le[/mm] 0$
> sein muss.
>
> Ich weiß nicht, sind das sinnvolle Lösungen?
>
Klingt zwar komisch, aber ich würde sagen "ja". Kannst es ja auch durch Einsetzen testen. Der Sonderfall a=0 führt ja dazu, dass schon das vorgegebene y=0 gewesen sein muss etc.
Für mich sieht das alles richtig aus.
> lg,
> nhard
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 08.12.2010 | | Autor: | nhard |
Okay ;)
Also für [mm] $\(b_1_2$ [/mm] muss die 2 schon unter die Wurzel, habe ja dadurch den Bruch gekürzt ( hoffe richtig :P ).
Dann werfe ich gleich mal meine Lösung für die (b) hinterher, und hoffe das beste.
Ausgangsgleichung:
[mm] $z^2+4z-i+4=0$
[/mm]
[mm] $\gdnw z^2+4z=-4+i$
[/mm]
[mm] $\gdnw a^2-b^2+4a+2abi+4bi=-4+i$
[/mm]
Dann würde ich wieder die Real- bzw. Imaginärteile vergleichen:
Imaginärteil:
[mm] $\(2ab+4b=1$
[/mm]
[mm] $\(b(2a+4)=1$
[/mm]
[mm] $b=\bruch{1}{(2a+4)}$
[/mm]
Realteil:
[mm] $\(a^2-b^2+4a=-4$
[/mm]
[mm] $(a+2)^2-4-b^2=-4$
[/mm]
[mm] $(a+2)^2-b^2=0$
[/mm]
Jetzt b einsetzen:
[mm] $(a+2)^2-\bruch{1}{(2a+4)^2}=0$
[/mm]
[mm] $(a+2)^2=\bruch{1}{(2a+4)^2}$
[/mm]
[mm] $(a+2)^2=\bruch{1}{(a+2)^2*4}$
[/mm]
[mm] $(a+2)^2*(a+2)^2*4=1$
[/mm]
[mm] $(a+2)^4*4=1$
[/mm]
[mm] $(a+2)^4=\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $a+2=\pm \wurzel[4]{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] $a=\pm \wurzel[4]{\bruch{1}{4}}-2$
[/mm]
Das entsprechend in b eingesetzt:
[mm] $\(b=\pm\bruch{1}{2*\wurzel[4]{\bruch{1}{4}}}
[/mm]
bzw.
[mm] $\(b=\pm \bruch{1}{\wurzel[4]{4}}$
[/mm]
Ich hoffe das war jetzt nicht zu ausführlich/unübersichtlich, bin mir immer nicht sicher was besser ist, lieber alle Schritte aufschreiben oder bisschen verkürzen.
Das wäre jetzt also meine Lösung zur (b) nach der selben Methode wie bei (a).
Hoffe ich habe keinen Fehler beim Umstellen usw gemacht..
Hier muss ich ja nicht auf Sonderfälle wie a=0 achten oder?
lg und vielen Dank für deine tolle Hilfe!!
nhard
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Sieht ziemlich gut aus würde ich sagen - wenn du noch sicherer sein willst, setze dein Ergebnis doch einfach mal in die Ursprungsgleichung ein...
Naja, Sonderfälle ist so eine Sache.... sobald du durch irgendwas mit einer Variablen dividierst, musst du halt sicherstellen, dass das keine Division durch Null ist oder sobald etwas mit einer Variablen unter einer Wurzel steht, musst du auch aufpassen und ggf. dann Fallunterscheidungen machen.
Hier wäre das der Fall a = -2, wo du aber sofort siehst, dass es dann keine Lösung geben kann.
lg weightgainer
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