Lösung DGL < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Betrachtet wird der radioaktive Zerfall bzw. die Anzahl der Teilchen N(t) mit folgendem Gesetz:
[mm] $\dot [/mm] N$(t) = [mm] -\lambda [/mm] N(t)
[mm] $\dot [/mm] N$ = [mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] N => [mm] \bruch{dN}{N} [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] dt
Integriert:
ln N = [mm] -\lambda [/mm] t + C N(t) = [mm] e^{-\lambda t}e^{C}
[/mm]
Wie kommt man zu der Integrationsformel bzw. was genau bedeutet eigentlich der Ausdruck dN oder dt alleine? Anscheinend evaluiert er zu 1, aber es müsste doch der unendlich kleine Abstand N(t) - [mm] N(t_0) [/mm] bzw. t - [mm] t_0 [/mm] sein?! Warum also 1?
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Hallo,
das sind Differentiale. Es handelt sich um eine abkürzende Schreibweise, die von manchen Mathematikern als unkorrekt bezeichnet wird (keine Angst: ichn gehöre da nicht dazu  ). Denke dir Integralzeichen davor, etwa so:
[mm]\integral{\bruch{dN}{N}}=-\integral{\lambda dt}[/mm]
Dann dürfte klar sein, was gemeint ist und wie es weitergeht. Beachte insbesondere, dass es sich um unbestimmte Integrale handelt.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> das sind Differentiale. Es handelt sich um eine abkürzende
> Schreibweise
>
ja, genau das ist der springende Punkt. Es müsste doch gelten: [mm] \bruch{dN}{N} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta N}{N} [/mm] = [mm] \limes{t \rightarrow t_0} \bruch{N(t) - N(t_0)}{N}
[/mm]
Und wieso da [mm]ln N[/mm] rauskommen soll, wenn man die rechte Seite integriert, sehe ich beim besten Willen nicht mehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 15.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
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> > das sind Differentiale. Es handelt sich um eine abkürzende
> > Schreibweise
> >
>
> ja, genau das ist der springende Punkt. Es müsste doch
> gelten: [mm]\bruch{dN}{N}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta N}{N}[/mm] = [mm]\limes{t \rightarrow t_0} \bruch{N(t) - N(t_0)}{N}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ich glaube Du bringst hier was durcheinander. Mit $\Delta N$ kennzeichnet man eine tatsächliche Differenz (also im weiteren Sinne etwas, das man noch messen kann). $\mathrm{d}N$ ist ein infinitesimal kleiner Bruchteil der Teilchenmenge N, also unendlich klein, fast 0, aber eben nicht ganz.
Das ist aber eigentlich auch nur symbolisch zu verstehen, dass man z.B.: $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$ nach $\mathrm{d}N}=-\lambda N\mathrm{d}t$ umformt. Meine mathematische Intuition wirderspricht mir da eigentlich auch, aber in der Physik wird ständig durch solche $\mathrm{d}x$ geteilt oder mit ihnen multipliziert oder sonstwie wild rumhamntiert. Daran solltest Du Dich gewöhnen.
Physiker betrachten solche Differentiale als ganz gewöhnliche Größen, mit denen man wie gewohnt rechnen kann und meistens kommt sogar was sinnvolles dabei raus
Aber dennoch gilt:
$\Delta N\neq\mathrm{d}N$
und weiterhin gilt auch:
$\Delta N\neq\lim_{t\to t_0}N(t)-N(t_0)$
(im Allgemeinen)
>
> Und wieso da [mm]ln N[/mm] rauskommen soll, wenn man die rechte
> Seite integriert, sehe ich beim besten Willen nicht mehr.
Was kommt denn raus, wenn Du:
[mm] $\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$
[/mm]
integrierst?
Vielleicht ist Dir diese Schreibweise geläufiger:
[mm] $\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
[/mm]
Gruß,
notinX
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> Vielleicht ist Dir diese Schreibweise geläufiger:
> [mm]\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x[/mm]
Gott wie peinlich, jetzt wo du es sagst... ;)
> ich glaube Du bringst hier was durcheinander. Mit [mm]\Delta N[/mm]
> kennzeichnet man eine tatsächliche Differenz (also im
> weiteren Sinne etwas, das man noch messen kann).
> [mm]\mathrm{d}N[/mm] ist ein infinitesimal kleiner Bruchteil der
> Teilchenmenge N, also unendlich klein, fast 0, aber eben
> nicht ganz.
Dennoch verwirren mich die dx und [mm] $\Delta [/mm] x$. Ich dachte dx ist einfach ein unendlich kleines [mm] $\Delta [/mm] x$ , aber nichts komplett anderes. In wikipedia heißt es z.B. zum Differential:
Wird beispielsweise ein fallender Körper immer schneller, so muss man zur Erfassung seiner momentanen Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt möglichst kleine Zeitintervalle dt betrachten und die entsprechend zurückgelegte Wegstrecke ds messen. Das sind dann eigentlich die Differenzen [mm] $\Delta [/mm] t$ und [mm] $\Delta [/mm] s$. Im Idealfall werden beide Differenzen „unendlich klein“, aber ihr „Quotient“ [mm] \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} [/mm] ist die Momentangeschwindigkeit und kann als Verhältnis endlicher Größen dt und ds geschrieben werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mi 16.05.2012 | | Autor: | notinX |
> > Vielleicht ist Dir diese Schreibweise geläufiger:
> > [mm]\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x[/mm]
>
> Gott wie peinlich, jetzt wo du es sagst... ;)
>
> > ich glaube Du bringst hier was durcheinander. Mit [mm]\Delta N[/mm]
> > kennzeichnet man eine tatsächliche Differenz (also im
> > weiteren Sinne etwas, das man noch messen kann).
> > [mm]\mathrm{d}N[/mm] ist ein infinitesimal kleiner Bruchteil der
> > Teilchenmenge N, also unendlich klein, fast 0, aber eben
> > nicht ganz.
>
> Dennoch verwirren mich die dx und [mm]\Delta x[/mm]. Ich dachte dx
> ist einfach ein unendlich kleines [mm]\Delta x[/mm] , aber nichts
Ja, ist das nicht genau das was ich sagte?
Was mich persönlich an der Sache irritiert ist, dass diese Differentiale (zumindest nach meinem Versändnis) eigentlich nur Symbole sind. Sie treten z.B. bei Integralen auf:
[mm] $\int f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] $
oder als Symbol für die Ableitung:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x):=f'(x)$
[/mm]
Deshalb hat es mich Anfangs einige Überwindung gekostet, damit zu rechnen, wie mit ganz normalen Größen. Aber ich habe mich mittlerweile daran gewöhnt.
> komplett anderes. In wikipedia heißt es z.B. zum
> Differential:
>
> Wird beispielsweise ein fallender Körper immer schneller,
> so muss man zur Erfassung seiner momentanen Geschwindigkeit
> zu einem bestimmten Zeitpunkt möglichst kleine
> Zeitintervalle dt betrachten und die entsprechend
> zurückgelegte Wegstrecke ds messen. Das sind dann
[mm] $\Delta [/mm] s$
> eigentlich die Differenzen [mm]\Delta t[/mm] und [mm]\Delta s[/mm]. Im
> Idealfall werden beide Differenzen „unendlich klein“,
> aber ihr „Quotient“ [mm]\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}[/mm] ist
> die Momentangeschwindigkeit und kann als Verhältnis
> endlicher Größen dt und ds geschrieben werden.
Nein, die Größen [mm] $\mathrm [/mm] d s$ und [mm] $\mathrm [/mm] d t$ sind nicht mehr endlich, sie sind unendlich klein!
Die Division [mm] $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ [/mm] kann man noch ohne Probleme ausführen, aber [mm] $\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}$ [/mm] ist keine Division im eigentlichen Sinne sondern ein Symbol für eine Grenzwertbetrachtung - nämlich des Differentialquotienten (Ableitung). Das bedeutet:
[mm] $\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}=\lim_{t\to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t-t_0}$
[/mm]
Erkennst Du nun den Unterschied zwischen $ [mm] \frac{\Delta s}{\Delta t} [/mm] $ und $ [mm] \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} [/mm] $?
Gruß,
notinX
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Ja, so habe ich das vorher auch verstanden. Ich kann es mir nur leichter vorstellen, wenn ich ds einfach als unendlich kleines [mm] $\Delta [/mm] s$, aber eben noch als [mm] $\Delta [/mm] s$ betrachte, genauso wie ich ein Integral als unendlich feine Summe betrachte, obwohl das auch wieder nur ein Symbol für den Grenzwert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mi 16.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Ja, so habe ich das vorher auch verstanden. Ich kann es mir
> nur leichter vorstellen, wenn ich ds einfach als unendlich
> kleines [mm]\Delta s[/mm], aber eben noch als [mm]\Delta s[/mm] betrachte,
> genauso wie ich ein Integral als unendlich feine Summe
> betrachte, obwohl das auch wieder nur ein Symbol für den
> Grenzwert ist.
Da spricht ja auch nichts gegen.
Deine ursprüngliche Frage war doch:
"was genau bedeutet eigentlich der Ausdruck dN oder dt alleine?"
Das habe ich versucht zu beantworten. Meiner bescheidenen Meinung nach ist es mathematisch unsinnig [mm] $\mathrm [/mm] d N$ oder [mm] $\mathrm [/mm] d t$ alleine zu stellen. In der Mathevorlesung wurde uns das auch nur als "Merkregel" verkauft und nicht als präzise definierte mathematische Operation.
Wenn Du Dir mal den mathematischen Satz zum DGL-Lösungsverfahren TdV anschaust (z.B. auf Wiki oder im Skript) wird dort auch nirgends durch Differentiale geteilt und es ist auch kein [mm] $\mathrm [/mm] d x$ zu sehen, das ohne Partner (also das Integralzeichen) in der Gegend rumsteht.
Aber im Grunde ist das alles Haarspalterei (zumindest für Nichtmathematiker wie mich) und ich bin auch nicht mathematisch kompetent genug um das tatsächlich zu beantworten.
Man kann es sich so tatsächlich einfacher merken und es funktioniert. Das ist doch die Hauptsache
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Im Wesentlichen kann ich mich notinx nur anschließen.
Vielleicht bringt Dir das etwas:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)
FRED
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