Lösung der Differentialgleich. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie ein System mit zwei Zuständen |1> und |2> und den dazugehörigen Energieniveaus [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] ( [mm] E_2>E_1). [/mm] Zur Zeit t=0 werde eine Störung
[mm] \hat{H}_1=\hat{V}(t)= \gamma e^{i\omega t}|1><2|+ \gamma e^{- i\omega t}|2><1| [/mm] ;
[mm] \gamma, \omega [/mm] > 0
eingeschaltet.
Leiten Sie die im Skript angegebene Rabi-Formel für die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand [mm] E_2 [/mm] zu finden, ab.
Die im Skript angegebene Rabi- Formel lautet:
[mm] |c_{2}(t)|^{2}= \bruch{\bruch{\gamma^2}{\hbar^2}}{\bruch{\gamma^2}{\hbar^2}+(\omega-\omega_{21})^2\cdot \bruch{1}{4}} \sin^{2} \{ [\bruch{\gamma^2}{\hbar^2}+\bruch{(\omega-\omega_{21})^2}{4}]^{\bruch{1}{2}} \cdot t \} [/mm] |
Die Herleitung der Formel führt auf folgendes mathematische Problem
(eine übersichlichere Form des mathematischen Problems siehe unter "Meine Fragen"):
[mm] i\hbar \dot{c}_2= \gamma e^{-it(\omega-\omega_{21})} \cdot c_1
[/mm]
nun gilt da [mm] |c_{2}(t)|^{2}, |c_{1}(t)|^{2} [/mm] Wahrscheinlichkeiten darstellen:
[mm] |c_{2}(t)|^{2}+|c_{1}(t)|^{2}=1 [/mm]
Diese Beziehung nutze ich aus und erhalte als Gestalt für die Differentialgleichung:
[mm] i\hbar \bruch{d}{dt}c_2= \gamma e^{-it(\omega-\omega_{21})} \sqrt{1-|c_{2}(t)|^{2}} [/mm] ;
[mm] \omega_{21}=\bruch{E_2-E_1}{\hbar}
[/mm]
als Anfangsbedingungen werden gegeben:
[mm] c_1(t=0)=1 [/mm] und [mm] c_2(t=0)=0
[/mm]
Meine Fragen:
War die Umformung der Differentialgleichung so richtig?
Ist dies eine homogene Differentialgleichung?
Meiner Meinung nach ist dies keine lineare Differentialgleichung, korrekt?
Ist folgende Sichtweise der DGL richtig:
[mm] c_2=:y
[/mm]
[mm] \dot{y}= [/mm] D(t) [mm] \sqrt{1-|y|^2} [/mm] ; wobei D: [mm] \mathbbm{R} \rightarrow \mathbbm{C} [/mm] und D(t):= [mm] \bruch{1}{i \hbar} \gamma e^{-it(\omega-\omega_{21})} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 28.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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