Lösung des AWP/Lineare Systeme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | | Bestimme die Lösung des AWP : x'' - 2 x' + x = [mm] e^{t}, [/mm] x'(0) = x(0) = 0 |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen. Ich weiß nicht genau, wie ich hier substituieren muss, um das auf ein System 1. Ordnung zurückzuführen.
Bei dieser Aufgabe muss man doch den Satz über die inhomogenen Systeme anwenden oder? Dafür muss man doch zuerst die homogene DGL x' = A(t) x lösen oder? Ich hab aber hier keine Matrix!?
Muss man hier die Gleichung x'' - 2 x' + x = [mm] e^{t} [/mm] auf eine Gleichung der Gestalt x' = A(t) x + b(t), A : I [mm] \to \IC^{N \times N} [/mm] stetig, b: I [mm] \to \IC^{N} [/mm] stetig, zurückführen?
Ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen.
Danke für die Hilfe,
Mini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Du kannst diese DGL 2. Ordnung aus den Integralkurven im Vektorfeld [mm] $F(x,y)=\pmat{0 & 1\\ -1 & 2}\vektor{x\\ y}$ [/mm] gewinnen, d.h. den differenzierbaren Funktionen [mm] $\varphi:\IR\to\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\dot{\varphi}(t)=F(\varphi(t))$. [/mm] Die Lösung der dir gegebenen Differentialgleichung ist dann genau die 1. Komponentenfunktion von [mm] $\varphi$. [/mm] Das kannst du selbst nachrechnen und solltest dir auch überlegen, wie man darauf kommt.
Nun kannst du diese homogene Differentialgleichung beispielsweise durch Konstruktion einer Hauptvektorbasis lösen.
Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung erhältst du durch die Vorschrift [mm] $t\mapsto \phi(t)\cdot [/mm] c(t)$ mit [mm] $c(t)=\int \phi^{-1}(t)b(t)$, [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] eine Fundamentalmatrix des homogenen Systemes ist, welche du aus den Ergebnissen für die homogene Gleichung erhältst (die Spalten der Fundamentalmatrix sind genau die Basisfunktionen des Lösungsraumes der homogenen Differentialgleichung). Das Integral ist dabei komponentenweise zu verstehen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 02.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo Hanno,
vielen Dank für deine Hilfe. Leider hab ich nicht alles verstanden, was du mir geschrieben hast.
> Du kannst diese DGL 2. Ordnung aus den Integralkurven im
> Vektorfeld [mm]F(x,y)=\pmat{0 & 1\\ -1 & 2}\vektor{x\\ y}[/mm]
> gewinnen, d.h. den differenzierbaren Funktionen
> [mm]\varphi:\IR\to\IR^2[/mm] mit [mm]\dot{\varphi}(t)=F(\varphi(t))[/mm].
Wie kommt man auf dieses F(x,y)? Ich hab auch nicht verstanden, wie man von dem F(x,y) auf die DGL 2.Ordnung kommt, also x'' - 2x' +x = [mm] e^{t}.
[/mm]
Da kommt doch gar kein y vor.
Die
> Lösung der dir gegebenen Differentialgleichung ist dann
> genau die 1. Komponentenfunktion von [mm]\varphi[/mm].
Wie kann ich denn das [mm] \varphi [/mm] bestimmen?
Ich versteh nicht ganz, wie das F(x,y) und das [mm] \varphi [/mm] mit der DGL 2.Ordnung zusammenhängt und wie man da drauf kommt.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Liebe Grüße, Mini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mini.
Wenn man die Differentialgleichung [mm] $\dot{\varphi(t)}=F(\varphi(t))$ [/mm] ausschreibt, erhält man [mm] $\varphi_1'(t)=\varphi_2(t)$ [/mm] und [mm] $\varphi_2'(t)=2\varphi_2(t)-\varphi_1(t)$, [/mm] mit [mm] $\varphi_2(t)=\varphi_1'(t)$ [/mm] also [mm] $\varphi_1''(t)=2\varphi'_1(t)-\varphi_1(t)\gdw \varphi_1''(t))-2\varphi_1'(t)+\varphi_1(t)=0$, [/mm] was genau unsere homogene Differentialgleichung 2. Ordnung ist.
Somit wird das Problem auf ein Problem 1. Ordnung im Zweidimensionalen reduziert, welches sich nach den üblichen Methoden, wie ich sie schon erwähnt habe, lösen lässt.
Im Allgemeinen kannst du die Differentialgleichung [mm] $x^{(n)}(t)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^{(i)}(t)$ [/mm] mit dem Problem [mm] $\dot{\varphi(t)}=\pmat{0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & & & \vdots\\ 0 & & \cdots & & 1\\ a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}}\varphi(t)$ [/mm] identifizieren.
Ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 02.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo Hanno,
danke für deine Antwort. Ich hab folgendes gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob das alles so stimmt:
Das inhomogene DGL lautet doch: [mm] \varphi(t)' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 2 } \varphi(t) [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ e^{t}} [/mm]
Zuerst hab ich das homogene DGL [mm] \varphi(t)' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 2 } \varphi(t) [/mm] gelöst.
Da habe ich das charakteristische Polynom det(A- [mm] \lambda [/mm] E) ausgerechnet und da kommt bei mir 1 heraus. Das ist doch dann doppelte Nullstelle oder?
Dann hab ich die Eigenvektoren bestimmt, von denen einer ein Hauptvektor 2.Stufe ist. Die beiden Eigenvektoren lauten bei mir:
[mm] u^{1}(t) [/mm] = [mm] e^{t} \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] u^{2}(t) [/mm] = [mm] e^{t} \vektor{t \\ 1+t} [/mm]
Also ist das Lösungsfundamentalsystem der homogenen Gleichung: M(t) = [mm] (u^{1}(t), u^{2}(t))
[/mm]
Nach einem Satz in der Vorlesung hat jede Lösung der inhomogenen Gleichung die Gestalt: [mm] \varphi(t) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{n} u^{n}(t) [/mm] + v(t), wobei [mm] c_{n} \in \IC [/mm] und v(t) = M(t) [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{M(s)^{-1} b(s) ds}
[/mm]
Die spezielle Lösung ist: a(t) = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{M(s)^{-1} b(s) ds}
[/mm]
Dafür hab ich die Matrix M(t) invertiert und erhalte: [mm] e^{-t} \pmat{ 1+t & -t \\ -1 & 1 } [/mm]
Hier bin ich mir unsicher, wie das jetzt weiter geht. b(s) ist doch der Vektor [mm] \vektor{0 \\ e^{s}} [/mm] oder?
Also: a(t) = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{M(s)^{-1} b(s) ds} [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t} e^{-s} \pmat{ 1+s & -s \\ -1 & 1 } \vektor{0 \\ e^{s}} [/mm] ds = ...= [mm] \vektor{-0.5 t^{2} \\ t}
[/mm]
Dann ist doch v(t) = M(t) [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{M(s)^{-1} b(s) ds} [/mm] = [mm] e^{t} \pmat{ 1 & t \\ 1 & 1+t } \vektor{-0.5 t^{2} \\ t}
[/mm]
Daraus folgt doch für die Lösung der inhomogenen DGL:
[mm] \varphi(t) [/mm] = [mm] c_{1} e^{t} \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2} e^{t} \vektor{t \\ 1+t} [/mm] + [mm] e^{t} \pmat{ 1 & t \\ 1 & 1+t } \vektor{-0.5 t^{2} \\ t}
[/mm]
Ich weiß nicht, ob das so stimmt. Wie kann man denn das [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] bestimmen?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter und sagst mir, was falsch ist.
Liebe Grüße, Mini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mini!
Das schaut sehr gut aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Ich habe auch mal gerechnet und erhalte das gleiche wie du!
> $ [mm] \varphi(t) [/mm] $ = $ [mm] c_{1} e^{t} \vektor{1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] c_{2} e^{t} \vektor{t \\ 1+t} [/mm] $ + $ [mm] e^{t} \pmat{ 1 & t \\ 1 & 1+t } \vektor{-0.5 t^{2} \\ t} [/mm] $
Ja, genau , du kannst aber noch das Matrix-Vektor-Produkt ausrechnen. Dann erinnere dich daran, dass die Lösung das anfänglich gesuchten Problemes genau die 1. Komponentenfunktion von [mm] $\varphi$ [/mm] ist, in diesem Falle also [mm] $t\mapsto \frac{1}{2} e^t t^2$.
[/mm]
> Ich weiß nicht, ob das so stimmt. Wie kann man denn das $ [mm] c_{1} [/mm] $ und $ [mm] c_{2} [/mm] $ bestimmen?
Die [mm] $c_1,c_2$ [/mm] sind frei wählbar. Die Lösungen der inhomogenen Differentialgliechungen erhältst du ja gerade, indem du zu einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung irgendeine Lösung der homogenen Gleichung addierst - diese wiederum lässt sich als Linearkombination der Basiselemente [mm] $u_1,u_2$ [/mm] schreiben; damit folgt bereits die von dir genannte Darstellung. Der einfachste Fall wäre [mm] $c_1=c_2=0$; [/mm] in diesem Fall erhieltest du die Lösung [mm] $y(t)=\frac{1}{2} e^t t^2$. [/mm]
> Ich hoffe, du hilfst mir weiter und sagst mir, was falsch ist.
Es war ja so gut wie nichts falsch, gut gemacht! Ist nun alles klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 02.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo Hanno,
ist ja toll, dass fast nichts falsch war :) Danke für deine Hilfe!
Ich hätte aber jetzt noch eine Frage.
Warum ist die Lösung des anfänglichen Problems nur die 1. Komponentenfunktion von [mm] \varphi(t)? [/mm]
> Dann erinnere dich daran,
> dass die Lösung das anfänglich gesuchten Problemes genau
> die 1. Komponentenfunktion von [mm]\varphi[/mm] ist, in diesem Falle
> also [mm]t\mapsto \frac{1}{2} e^t t^2[/mm].
Was ist mit der 2.Komponente? Und wo ist der vordere Teil mit [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2}? [/mm] Hast du die beiden = 0 gewählt?
Mir ist das mit der Lösung der 1. Komponentenfunktion nicht klar.
Ich hoffe, du erklärst es mir noch.
Danke nochmals für deine große Hilfe!
Liebe Grüße
Mini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mini.
> Was ist mit der 2.Komponente? Und wo ist der vordere Teil mit $ [mm] c_{1} [/mm] $ und $ [mm] c_{2}? [/mm] $ Hast du die beiden = 0 gewählt?
Ja genau, ich habe [mm] $c_1=c_2=0$ [/mm] gesetzt.
> Mir ist das mit der Lösung der 1. Komponentenfunktion nicht klar.
Der Trick zu Beginn war ja, die 1-dimensionale Differentialgleichung 2. Ordnung als 2-dimensionale Differentialgleichung 1. Ordnung aufzufassen. Dazu hatten wir nach einer Funktion [mm] $\varphi:\IR\to\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\dot{\varphi(t)}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 2}\varphi(t)$ [/mm] gesucht. Schreiben wir das aus, so bedeutet dies [mm] $\varphi_1'(t)=\varphi_2(t), \varphi_2'(t)=2\varphi_2(t)-\varphi_1(t)$. [/mm] Wenn wir die 1. in die 2. Gleichung einsetzen, erhalten wir für [mm] $\varphi_1$ [/mm] genau die anfängliche 1-dimensionale Differentialgleichung 2. Ordnung. Wir bestimmen also die Lösungen von [mm] $\dot{\varphi(t)}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 2}\varphi(t)$ [/mm] und gewinnen durch die 1. Komponentenfunktion dieser Lösungen die Lösungen der ursprünglichen 1-dimensionalen Differentialgleichung 2. Ordnung.
Ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 So 02.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Danke Hanno für deine Hilfe, mir ist das alles viel klarer als davor!
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