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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung folgender DGL:
[mm] xy'+2y=\ln(1+x^2) [/mm] |
ich möchte diese DGL mittels Variation der Konstanten lösen.
Jetzt habe ich als "homogenen Teil" der DGL folgendes:
[mm] \bruch{dy}{y}=-\bruch{2dx}{x}
[/mm]
wenn ich jetzt die Integrale auflöse bekomme ich folgendes:
ln(y)=-2 [mm] \ln\bruch{K}{x} [/mm] (ich vermute das schon hier mein Fehler ist)
jedenfalls wenn ich dann die Variation der KOnstanten vornehmen will verschwindet bei mir das K(x) nicht, sodass ich die DGL dann nicht mehr lösen kann.
Denn ich bekomme im Schritt bei der Variation:
[mm] \bruch{2K'(x)}{x}-\bruch{2K(x)}{x^2}+\bruch{4K(x)}{x^2}...
[/mm]
ich glaube ich bin da irgentwo in der Rechnung völlig durcheinander gekommen... deshalb würde ich mich über Hilfe sehr freuen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Fr 09.11.2007 | | Autor: | vivo |
> Bestimmen Sie die Lösung folgender DGL:
> [mm]xy'+2y=\ln(1+x^2)[/mm]
> ich möchte diese DGL mittels Variation der Konstanten
> lösen.
> Jetzt habe ich als "homogenen Teil" der DGL folgendes:
> [mm]\bruch{dy}{y}=-\bruch{2dx}{x}[/mm]
> wenn ich jetzt die Integrale auflöse bekomme ich
> folgendes:
> ln(y)=-2 [mm]\ln\bruch{K}{x}[/mm] (ich vermute das schon hier mein
> Fehler ist)
Hallo,
ln(y)=-2 lnx + C
y = [mm] e^{lnx^{-2}}
[/mm]
y = [mm] x^{-2}
[/mm]
y = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
das löst dann y' = [mm] \bruch{-2y}{x}
[/mm]
und dann weiter ... mit Variation der Konstanten ...
schau mal ob du weiter kommst
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Hi nochmal,
hab versucht mit dem "richtigen" Ergebnis für die hom. DGL weiterzumachen, leider verschwindet bei mir, bei der Variation der Konstanten immernoch nicht das K(x) was ja eigentlich sein müsste um auf ein vernünftiges Ergebnis zu kommen.
Ich weiß nich mehr weiter.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
also du gehst von der homogenen Lösung $y_h=\frac{1}{x^2}\cdot{}c$ mit $c\in\IR$ aus
Dann ist doch mit Variation der Konstanten:
$y(x)=\frac{1}{x^2}\cdot{}c(x)$
$\Rightarrow \red{y'(x)=-\frac{2}{x^3}\cdot{}c(x)+\frac{1}{x^2}\cdot{}c'(x)}$ nach Produktregel
Aber mit der Ausgangs-Dgl ist auch:
$y'(x)=-\frac{2y(x)}{x}+\frac{\ln(1+x^2)}{x}$
Also mit eingesetzter hom. Lösung:
$\red{y'(x)}=-\frac{2\left(\frac{1}{x^2}\cdot{}c(x)\right)}{x}+\frac{\ln(1+x^2)}{x}=\red{-\frac{2}{x^3}\cdot{}c(x)+\frac{1}{x}\cdot{}\ln(1+x^2)}$
Also, wenn du die roten Ausdrücke vergleichst:
$c'(x)=x\cdot{}\ln(1+x^2})$
Damit $c(x)=\int{(x\cdot{}\ln(1+x^2))\, dx}$
Das kannst du zB mit der Substitution $u:=1+x^2$ angehen
Dann die Lösungen zusammensetzen und fertig 
LG
schachuzipus
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