Lösung einer Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \ x^2 + \ 5x \ + 1 \ equiv \ 0 \ mod \ 127 \[/mm] |
Ich weiß nicht, wie ich Aufgaben solchen Typs lösen kann (speziell natürlich auch diese). Lineare Kongruenzen sind klar. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 24.01.2007 | | Autor: | statler |
Erstmal 'Guten Tag!'
> [mm]\ x^2 + \ 5x \ + 1 \ equiv \ 0 \ mod \ 127 \[/mm]
> Ich weiß
> nicht, wie ich Aufgaben solchen Typs lösen kann (speziell
> natürlich auch diese). Lineare Kongruenzen sind klar. Kann
> mir jemand helfen?
1. Weg: probieren (schlecht)
2. Weg: quadratische Ergänzung
[mm] x^{2} [/mm] + 5x + 1 [mm] \equiv (x+66)^{2} [/mm] - 38 + 1
[mm] (x+66)^{2} \equiv [/mm] 37 mod127
Jetzt die Wurzeln aus 37 (es muß keine geben) suchen, z. B. über eine Primitivwurzel, das sind 75 und 51, naja den Rest kannst du jetzt selbst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ebenfalls erstmal Hallo!
Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber wie genau funktioniert der Schritt mit den Primitivwurzeln? So ganz habe ich das leider noch nicht verstanden...
Grüße zurück!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 28.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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>>Jetzt die Wurzeln aus 37 (es muß keine geben) suchen, z. B. über eine >>Primitivwurzel, das sind 75 und 51
Hallo erstmal! Habe leider den obigen Teil immer noch nicht verstanden. Wie komme ich auf die beiden Werte 75 und 51? Ich habe mich im Netz über Primitivwurzeln informiert und weiß trotzdem nicht, wie ich sie hier anwenden muss! Falls mir irgendjemand helfen kann, wäre das super! Dieses Problem wird mir ja bestimmt noch häufiger begegnen...
Danke schonmal,
Maren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 29.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Maren!
> >>Jetzt die Wurzeln aus 37 (es muß keine geben) suchen, z.
> B. über eine >>Primitivwurzel, das sind 75 und 51
> Hallo erstmal! Habe leider den obigen Teil immer noch nicht
> verstanden. Wie komme ich auf die beiden Werte 75 und 51?
> Ich habe mich im Netz über Primitivwurzeln informiert und
> weiß trotzdem nicht, wie ich sie hier anwenden muss! Falls
> mir irgendjemand helfen kann, wäre das super! Dieses
> Problem wird mir ja bestimmt noch häufiger begegnen...
Leider ist mein Geschreibsel dazu inzwischen in der Mülle, aber ich erinnere mich, daß ich es mit 3 als Primitivwurzel versucht habe, und daß das geklappt hat. Dazu nimmst du 3 immer wieder mit sich selbst mal und bildest den Rest modulo 127. Dann tauchen bei einer Primitivwurzel nach und nach alle Reste auf, also irgendwann auch die 37 und die -37 = 90. Es war wohl so, daß 90 eher auftaucht und daß [mm] 3^{63} \equiv [/mm] -1 ist. Wenn 90 [mm] \equiv [/mm] -37 [mm] \equiv 3^{r} [/mm] ist und wie gesagt [mm] 3^{63} \equiv [/mm] -1, dann ist [mm] 3^{r+63} \equiv [/mm] 37. Naja, r+63 ist eine gerade Zahl, und eine Wurzel aus 37 ist dann [mm] 3^{\bruch{r+63}{2}}, [/mm] die andere das Negative davon.
Nimm mal den TR und leg los!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 29.01.2007 | | Autor: | frustriert |
Danke! Habe es endlich verstanden! r war 35 
Schönen Tag noch!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 30.01.2007 | | Autor: | befbef |
Hallo!
Und was mach ich wenn eine quadratische Ergänzung nicht möglich ist? Zum Beispiel [mm] x^2-x [/mm] in Z/16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Mi 31.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
x*(x-1)=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Mi 31.01.2007 | | Autor: | befbef |
Ja, dieser Geistesblitzüberkam mich auch schon, aber dann? gut Z/16 ist jetzt langweilig. Wie komm ich auf die Lösungen in Z/10000 zum Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 31.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Stephan!
> Ja, dieser Geistesblitz überkam mich auch schon, aber dann?
> gut Z/16 ist jetzt langweilig. Wie komm ich auf die
> Lösungen in Z/10000 zum Beispiel?
Das ist zunächst einmal kein Körper! Also mußt du das erst modulo der verschiedenen Primpotenzen [mm] (2^{4} [/mm] und [mm] 5^{4}) [/mm] lösen. Das geht, indem du eine Lösung modulo der Primzahl mit Hilfe eines Approximationsverfahrens zu einer Lösung modulo einer höheren Potenz verbesserst. Die beiden Lösungen kannst du dann mit dem Chinesischen Restsatz zu einer Gesamtlösung zusammenbasteln (wenn es denn eine gibt).
Grüß das Mathe-Institut in Regensburg von mir, bei wem studierst du denn?
Dieter
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