Lösung einer Gleichung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die ganze Zahl d sei genau einmal durch die Primzahl p teilbar.
Zeigen Sie ,dass die Gleichung
[mm] x^{3}+dy^{3}+d^{2}z^{3}-3dxyz [/mm] =0 mit x,y,z [mm] \in [/mm] Q
nur die triviale Lösung x=y=z=0 besitzt.
Hinweis: Sie könnten zuerst zeigen, dass oBdA x,y,z ganze Zahlen sind. |
Abgesehen davon, dass ich die aufgabe nicht recht einordnen kann, würde ich zunächst gern wissen, wie man den "Hinweis" ausnutzt, ich mien also: Wie zeigt man das?
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> Die ganze Zahl d sei genau einmal durch die Primzahl p
> teilbar.
> Zeigen Sie ,dass die Gleichung
> [mm]x^{3}+dy^{3}+d^{2}z^{3}-3dxyz[/mm] =0 mit x,y,z [mm]\in[/mm] Q
> nur die triviale Lösung x=y=z=0 besitzt.
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> Hinweis: Sie könnten zuerst zeigen, dass oBdA x,y,z ganze
> Zahlen sind.
> Abgesehen davon, dass ich die aufgabe nicht recht
> einordnen kann, würde ich zunächst gern wissen, wie man den
> "Hinweis" ausnutzt, ich mien also: Wie zeigt man das?
Hallo,
nimm an, daß es eine Lösung x', y', z' in [mm] \IQ [/mm] gibt,
schreibe x', y', z' als [mm] x'=\bruch{x_1}{x_2} [/mm] mit [mm] x_1,x_2 \in \IZ, x_2\not=0, [/mm] usw.
Multipliziere dann die Gleichung so, daß die Nenner verschwinden, und zeige, daß folgt, daß es ganze Zahlen x,y,z gibt mit [mm] x^{3}+dy^{3}+d^{2}z^{3}-3dxyz[/mm] [/mm] =0.
Einordnen? Eigentlich müßtest Du ja wissen, wo die Aufgabe herkommt...
Ich würde sagen, daß es in den Dunstkreis von Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung gehört.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Fr 08.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Einordnen? Eigentlich müßtest Du ja wissen, wo die Aufgabe
> herkommt...
> Ich würde sagen, daß es in den Dunstkreis von Teilbarkeit
> und Primfaktorzerlegung gehört.
Genau.
Ein Tipp dazu: nimm an, dass hoechstens zwei der drei Zahlen durch $p$ teilbar sind (das kann man genauso erreichen wie das alle Zahlen in [mm] $\IZ$ [/mm] sind), und finde einen Widerspruch.
LG Felix
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hallo,
zunächst vielen Dank.
Das Einordnen ist nach wie vor ein Problem, weil ich die Aufgabe im Zusammenhang mit Körpern gesehen habe. Die Information, dass d genau einmal durch p teilbar sein soll, vermg ich nicht recht umzusetzen, auch nicht, wenn ich die Mitteilung gelesen habe.
Ich will gern annehmen, dass zwei der drei Zahlen (x,y,z) durch p teilbar sind. Aber wieso zeige ich damit die Nichtexistenz einer nichttrivialen Lösung?
Ich beziehe mich hier auf Übungssereien der linearen Algebra, bei mir selbst schon fast 40 Jahre her. Alle algebraischen Strukturen sind irgendwie noch geläufig, auch, dass das irgendwann auf Zahlentheorie hinausläuft. Es geht dsann wohl um Basen von Körpern. Wenn ich mich da richtig erinnere, wäre mit dem Nachweis der trivialen Lösung eine Basis gefunden. Im Moment sehe ich aber noch nicht von welchem Körper.
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> Das Einordnen ist nach wie vor ein Problem, weil ich die
> Aufgabe im Zusammenhang mit Körpern gesehen habe.
Hallo,
es geht ja immerhin auch zunächst darum, ob die Gleichungen Lösungen im Körper [mm] \IQ [/mm] hat.
Wir wissen aber inzwischen, daß wir hierzu lediglich die Lösbarkeit im Ring [mm] \IZ [/mm] untersuchen müssen.
> Die
> Information, dass d genau einmal durch p teilbar sein soll,
> vermg ich nicht recht umzusetzen,
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von d?
> Ich will gern annehmen, dass zwei der drei Zahlen (x,y,z)
> durch p teilbar sind. Aber wieso zeige ich damit die
> Nichtexistenz einer nichttrivialen Lösung?
Du fragst hier: "Wie geht das?", postest aber kein bißchen von dem, was Du bisher getan hast.
Bitte beachte, daß wir Deine Lösungsansätze sehen wollen.
Sonst können wir schlecht helfen.
Ich bin die Sache so angegangen:
ich habe mir erstmal überlegt, daß x,y,z alle durch p teilbar sein müssen, habe die drei dann anschließend jeweils geschrieben als Produkt der größtmöglichen p-Potenz und einer weiteren Zahl.
Daran anschließend dann wieder Überlegungen bzgl. der Teilbarkeit durch p.
> Es
> geht dsann wohl um Basen von Körpern.
Ich denke eher nicht, daß es darum geht. Es geht hier um Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit.
> Wenn ich mich da
> richtig erinnere, wäre mit dem Nachweis der trivialen
> Lösung eine Basis gefunden. Im Moment sehe ich aber noch
> nicht von welchem Körper
Entweder ist das 'ne Nummer zu hoch für mich, oder Du bist völlig auf dem falschen Dampfer.
Gruß v. Angela
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zunächst wieder vielen dank an angela.
Ich will aber mal grundsätzlich werden.
Wenn man die Diskussionen hierzu und auch in vergleichbaren Foren verfolgt, so schreiben hier Leute auch dann ihre Aufgaben, wenn sie keinen "Plan" haben. Insofern kann man auch keine Lösungsansätze liefern, wenn man (noch) keine hat. Ich versuche die für mich merkwürdigen Formulierungen zu verstehen. Insofern bin ich da nun schon etwas weiter. An anderer Stelle habe ich auf meinen Background hingewiesen. Ich versuche etwas mehr Systematik und Verständnis in die Bearbeitung der Themen einer Linearen Algebravorlesung zu bringen, weil ich da ein paar Studenten kenne. Da ich nicht in der Vorlesung sitze, bin ich natürlich nicht immer sicher, ob der Zusammenhang zwischen Vorlesungsstoff und Übungsaufgaben nur von (übrigens vielen) Studenten nicht gesehen, oder vom Professor wirklich nicht hergestellt wird. Mit dem Mittel Vorlesungsskript allein gelingt es mir jedenfalls auch nicht. Nun bin ich ja schon eine Weile "nur noch" auf Schulniveau, aber ich habe gute Bücher gefunden und sehr viele Begriffe reaktiviert. In Thüringen spielen algebraische strukturen fast keine Rolle (abgesehen davon, dass man den Vektorraumbegriff zumindest andeutet). Nun lese ich über Gruppen, Körper und Ringe und weiss, dass ich das alles irgendwie verstanden hatte (Bis zum Verfassen einer Diplomarbeit über Polyedergeometrie)und zumindest teilweise auch wieder habe. Allerdings fehlen wohl inzwischen ein paar Querverbindungen?. Wenn ich eine Lösbarkeitsuntersuchung machen soll, denke ich aber zuerst an lineare Unabhängigkeit und evtl. an eine Koeffizientenmatrix. Wenn es sich jetzt nicht um eine Vektorgleichung handelt kann ich das als einzeilige Matrix auffassen. Wie auch immer, würde ich versuchen, die Gleichung zu lösen.
Der Begriff der Basis war wohl doch eher versehentlich hier hineingeraten, weil ich immer noch kein venünftiges nachvollziehbares Beispiel für einen Körper und eine oder mehrere dazugehöroge Basen habe. Eine Basis ist ja wohl auch bei körpern eine Menge lin. unabhängiger elemente. (mit kleinstmöglicher Anzahl)? Wenn ich nun in einer Gleichunhg nur die triviale Lösung habe sind die "Variablen" linear unabhängig,oder? Damit wären Sie evtl. auch eine Basis.
Ich will jetzt nicht gegen alle Forenregeln verstoßen, aber da würde ich noch ein paar solche Dinge loswerden. Die Aufgabe selbst ist übrigens schon wieder aus dem Fokus geraten.
Ich versuche es sicher bald mit einer anderen )
Bitte um Entschuldigung, wenn ich genervt haben sollte.
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