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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm] e^x=9/(1+9*cos(x)) [/mm] eine Lösung im Intervall [0, [mm] \pi/2] [/mm] besitzt. |
Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen zu:
0=9/(1+9*cos(x)) - [mm] e^x
[/mm]
Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz, dass es eine Nullstelle gibt. Aber hat sich was mit Stetigkeit.... o.o
Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....
Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...
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Du könntest es mit der Fixpunktiteration versuchen, falls ihr diese schon hattet.
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Hallo,
> Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm]e^x=9/(1+9*cos(x))[/mm] eine
> Lösung im Intervall [0, [mm]\pi/2][/mm] besitzt.
> Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht
> ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen
> zu:
> 0=9/(1+9*cos(x)) - [mm]e^x[/mm]
Ja, ok. Was erhältst du denn für x=0 und [mm] x=\pi/2 [/mm] ?
Ist die Funktion [mm] f(x)=9/(1+9*cos(x))-e^x [/mm] stetig?
Und denk nun einmal an die Sätze aus deiner Analysis I - Vorlesung...
> Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz,
> dass es eine Nullstelle gibt. Aber hat sich was mit
> Stetigkeit.... o.o
> Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber
> nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....
>
> Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die
> Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig
> ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...
P.S.: Und ja! Dich interessiert nur das angegebene Intervall. Ob die Funktion an anderen Stellen unstetig ist, ist für dich momentan unwichtig. Bedenke also dass [mm] \cos(x)>0 [/mm] für [mm] [0,\pi/2)
[/mm]
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Hallo Ymaoh,
noch mehr Senf:
> Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm]e^x=9/(1+9*cos(x))[/mm] eine
> Lösung im Intervall [0, [mm]\pi/2][/mm] besitzt.
> Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht
> ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen
> zu:
> 0=9/(1+9*cos(x)) - [mm]e^x[/mm]
> Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz,
> dass es eine Nullstelle gibt.
Meinst Du damit einen Spezialfall des Zwischenwertsatzes?
> Aber hat sich was mit
> Stetigkeit.... o.o
Na, Moment mal.
Der Nenner bleibt in diesem Intervall doch durchweg [mm] \ge{1} [/mm] und kommt der 0 also nicht mal nahe.
> Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber
> nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....
>
> Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die
> Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig
> ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...
Genau. Insbesondere ist die Funktion auch an den Randpunkten des Intervalls stetig, so dass Du die beiden Funktionswerte dort nutzen kannst.
Die Nullstelle liegt ziemlich nah bei [mm] \pi/2.
[/mm]
Du brauchst sie aber nicht zu bestimmen, es reicht, ihre Existenz zu zeigen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Reicht es also zu schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x) = 9/(1+9*cos(0) - [mm] e^0 [/mm] = f(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\(\pi)/2} [/mm] f(x) = [mm] 9/(1+9(cos((\pi)/2)) [/mm] - [mm] e^{\pi/2}=f(\pi/2)
[/mm]
und:
f(0)=9/10 - 1 <0
[mm] f(\pi/2)=9-e^{\pi/2} [/mm] > 0
Also gibgt es laut Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle.
?
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Moin, kann man nicht auch folgendes machen?
Nenner ist für das Intervall ungleich Null also bekommt man [mm] e^x(1+9cos(x))/9=0 [/mm] und das geht falls 1+9cos(x)=0 also [mm] x=2\pi [/mm] n * arccos(-1/9) mit [mm] n\in\IZ [/mm] und mit n=0 erhält man die Lösung.
Geht das?
LG, Björn
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Hallo Björn,
> Moin, kann man nicht auch folgendes machen?
>
> Nenner ist für das Intervall ungleich Null also bekommt
> man [mm]e^x(1+9cos(x))/9=0[/mm]
Nein, das ist doch keine gültige Umformung. Schau nochmal genau hin.
> und das geht falls 1+9cos(x)=0 also
> [mm]x=2\pi[/mm] n * arccos(-1/9) mit [mm]n\in\IZ[/mm] und mit n=0 erhält man
> die Lösung.
Dann gäbe es keine. Im vorliegenden Intervall ist [mm] \cos{x}\ge{0}, [/mm] die Lösung setzt aber einen negativen Cosinus voraus.
Aber wie gesagt, der Anfang stimmt schon nicht.
> Geht das?
Nein.
Grüße
reverend
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Danke für die schnelle Antwort!!
Hmm.. [mm] e^x=9/(1+9cos(x)) [/mm] daraus folgt [mm] e^x(1+9cos(x))=9, [/mm] denn [mm] 1+9cos(x)\not=0. [/mm] Dann zu meinem Ergebnis.
Darf ich nicht multiplizieren?
Lg, Björn
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Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Antwort!!
>
> Hmm.. [mm]e^x=9/(1+9cos(x))[/mm] daraus folgt [mm]e^x(1+9cos(x))=9,[/mm] denn
> [mm]1+9cos(x)\not=0.[/mm]
Die Folgerung stimmt schon, nur die Voraussetzung ist falsch.
> Dann zu meinem Ergebnis.
>
> Darf ich nicht multiplizieren?
Nein, wie denn? Zeig doch mal, wie Du aus der ursprünglichen Gleichung zu Deiner Umformung kommst.
Grüße
reverend
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Habe meinen Fehler gefunden... 9/9=1 und nicht 0....
Aber es geht glaube ich auch so weiter..
[mm] e^x=9/(1+9\cdot{}cos(x)) [/mm] | * [mm] (1+9\cdot{}cos(x))\not=0
[/mm]
also folgt
[mm] e^x(1+9\cdot{}cos(x))=9
[/mm]
[mm] e^x(1+9\cdot{}cos(x))-9=0
[/mm]
Jetzt ist Schicht im Schacht,oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Habe meinen Fehler gefunden... 9/9=1 und nicht 0....
> Aber es geht glaube ich auch so weiter..
>
> [mm]e^x=9/(1+9\cdot{}cos(x))[/mm] | * [mm](1+9\cdot{}cos(x))\not=0[/mm]
>
> also folgt
>
> [mm]e^x(1+9\cdot{}cos(x))=9[/mm]
>
> [mm]e^x(1+9\cdot{}cos(x))-9=0[/mm]
>
> Jetzt ist Schicht im Schacht,oder?
Analytisch? Ja.
Numerisch? Nein.
Gruß
DieAcht
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Woher erkenne ich, dass es analytisch nicht mehr weiter geht?
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> Woher erkenne ich, dass es analytisch nicht mehr weiter
> geht?
Hi,
du kannst die Gleichung nicht exakt nach x auflösen. Da dies nicht geht, kannst du nur numerisch an die ganze Sache heran gehen.
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