Lösung komplexer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Di 28.02.2012 | | Autor: | Blerg |
| Aufgabe | | [mm] z^{5}-16+16\wurzel{3}*i=0 [/mm] |
Hallo,
ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe.
Ich finde nichtmal einen Ansatz, wie ich an das ganze rangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus
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Hi!
> [mm]z^{5}-16+16\wurzel{3}*i=0[/mm]
> Hallo,
> ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe.
> Ich finde nichtmal einen Ansatz, wie ich an das ganze
> rangehen soll.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke im Vorraus
Du möchtest in dieser Gleichung alle Lösungen für z finden.
Forme den Term also in diese Form um:
[mm] $z^5=......$
[/mm]
Danach Wandelst du die komplexe Zahl auf der rechten Seite in die Exponentialform um und berechnest dir die Lösungen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 28.02.2012 | | Autor: | Blerg |
| Aufgabe | | [mm] z=\wurzel{(\wurzel[5]{16} + \wurzel[5]{-16*\wurzel{3}i})}*e^{i*arctan(\bruch{\wurzel[5]{16}}{\wurzel[5]{-16*\wurzel{3}}}} [/mm] |
ist das so richtig?
wenn ja danke für die hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Di 28.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht was du gemacht hast.
Betrag einer Komplexen Zahl a+ib ist [mm] r=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
der winkel zu x-achs ist [mm] \phi=arctan(b/a) [/mm] wobei du noch da ja tan periodisch ist in welchen Quadranten deine Zahl liegt
dann hast du dein [mm] a+ib=r*e^{i*(\phi+k*2\pi)}
[/mm]
Die Gleichung hat 5 Losungen!
also aufs neue:
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 28.02.2012 | | Autor: | Blerg |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich schreib das jetz nochmal schrittweise hin, wie ich vorgegangen bin und ich hoffe ihr könnt mir dann sagen wo genau mein fehler liegt.
1. Ausgangsgleichung:$ z^{5}-16+16\wurzel{3}\cdot{}i=0 $
2. nach z umstellen: z=\wurzel[5]{16-16\wurzel{3}\cdot{}i}
3. a=\wurzel[5]{16}
b=\wurzel[5]{-16\wurzel{3}}
4. r=a²+b²=$ z=\wurzel{(\wurzel[5]{16} + \wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}i})} $
5. $ \phi=arctan(b/a) $ = $ arctan \bruch{\wurzel[5]{16}}{\wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}}}} $
6. z=$ a+ib=r\cdot{}e^{i\cdot{}(\phi+k\cdot{}2\pi)} $ = $ \wurzel{(\wurzel[5]{16} + \wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}i})}\cdot{}e^{i\cdot{}arctan\bruch{\wurzel[5]{16}}{\wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}}}} $
dann müsst ich ja das erste z rausbekommen oder?
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Hallo Blerg,
> Ich schreib das jetz nochmal schrittweise hin, wie ich
> vorgegangen bin und ich hoffe ihr könnt mir dann sagen wo
> genau mein fehler liegt.
>
> 1. Ausgangsgleichung:[mm] z^{5}-16+16\wurzel{3}\cdot{}i=0[/mm]
> 2.
> nach z umstellen: [mm]z=\wurzel[5]{16-16\wurzel{3}\cdot{}i}[/mm]
> 3. [mm]a=\wurzel[5]{16}[/mm]
> [mm]b=\wurzel[5]{-16\wurzel{3}}[/mm]
Das darfst Du so nicht machen.
Es ist doch:
[mm]a=16[/mm]
[mm]b=-16\wurzel{3}[/mm]
> 4. r=a²+b²=[mm] z=\wurzel{(\wurzel[5]{16} + \wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}i})}[/mm]
>
Damit ergibt sich [mm]r=\wurzel[5]{a^{2}+b^{2}}= \ ...[/mm]
> 5. [mm]\phi=arctan(b/a)[/mm] = [mm]arctan \bruch{\wurzel[5]{16}}{\wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}}}}[/mm]
>
Auch das stimmt nicht.
[mm]\phi=arctan(b/a) = arctan \bruch{16}{-16\cdot{}\wurzel{3}}=\ ...[/mm]
>
> 6. z=[mm] a+ib=r\cdot{}e^{i\cdot{}(\phi+k\cdot{}2\pi)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(\wurzel[5]{16} + \wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}i})}\cdot{}e^{i\cdot{}arctan\bruch{\wurzel[5]{16}}{\wurzel[5]{-16\cdot{}\wurzel{3}}}}[/mm]
>
> dann müsst ich ja das erste z rausbekommen oder?
>
Deine Rechnung stmmt nicht.
Es kommt dann heraus: [mm]z_{k} =r*e^{i*\bruch{\phi+2*k*\pi}{5}}, \ k=0,1,2,3,4[/mm]
Gruss
MathePower
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