Lösung mit drei Unbekannten < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Mtron |
| Aufgabe | Bekannt sind die Variablen a,b,c
Gegeben sind folgende Gleichungssysteme:
x = (0.5 * (((4 * a ^ 2 - 3 * y ^ 2) ^ 0.5) - y))
y = (0.5 * (((4 * b ^ 2 - 3 * z ^ 2) ^ 0.5) - z))
z = (0.5 * (((4 * c ^ 2 - 3 * x ^ 2) ^ 0.5) - x))
Zu lösen ist x in Abhängigkeit von a,b,c.
Zu lösen ist y in Abhängigkeit von a,b,c.
Zu lösen ist z in Abhängigkeit von a,b,c. |
Das sollte doch zu schaffen sein? Ich hab es mit dem Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungverfahren versucht. Leider ohne Erfolg... Ich kann die Gleichung nicht auflösen. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lg M
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 03.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Bekannt sind die Variablen a,b,c
>
> Gegeben sind folgende Gleichungssysteme:
>
x = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] (\sqrt{4 * a^2 - 3 * y^2} [/mm] - y)
y = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] (\sqrt{4 * b^2 - 3 * z^2} [/mm] - z)
z = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] (\sqrt{4 * c^2 - 3 * x^2} [/mm] - x)
>
> Zu lösen ist x in Abhängigkeit von a,b,c.
> Zu lösen ist y in Abhängigkeit von a,b,c.
> Zu lösen ist z in Abhängigkeit von a,b,c.
> Das sollte doch zu schaffen sein? Ich hab es mit dem
> Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungverfahren versucht.
> Leider ohne Erfolg... Ich kann die Gleichung nicht
> auflösen. Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Lg M
Das war so unübersichtlich geschrieben, dass man keine Ahnung hatte, was da eigentlich steht. Schau bitte ob das so richtig übersetzt ist!
Grüße
P.s.: Welche Gleichungen hast du denn beim Einsetzungsverfahren in welche eingesetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Mtron |
Entschuldigt. Das habe ich direkt aus meinem VB code kopiert. Die Verbesserungen/Formeln von teo stimmen.
Gruss M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mo 03.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo.
Ok, also mit dem Einsetzungsverfahren müsste es schon gehen, ist halt recht mühsam! Welche Gleichungen hast du denn in welche eingesetzt?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 04.12.2012 | | Autor: | Mtron |
Hier nochmal der geometrische Zusammenhang. Gesucht die Längen x,y,z. gegeben die Längen a,b,c
[img]
Was ich gemacht habe ist die 3. Fomal nach x aufzulösen ->
x = [mm] \bruch{1}{2} (\wurzel{4c^{2}-3z^{2}}-z)
[/mm]
Das kann ich dann mit der ersten Formel gleichsetzen:
[mm] \bruch{1}{2} (\wurzel{4c^{2}-3z^{2}}-z) [/mm] = 1/2 [mm] \wurzel{4a^{2}-3y^{2}}-1/2y
[/mm]
ergibt dann nach y aufgelöst
y = [mm] \bruch{1}{4} (\wurzel{16 a^{2}+6 z \wurzel{4 c^{2}-3 z^{2}}-12 c^{2}+6 z^{2}}-\wurzel{4 c^{2}-3 z^{2}}+z)
[/mm]
eigentlich dache ich ich kann dies mit der zweiten Formel gleichsetzen und nach z auflösen. Tja... leider schaff ich das nicht und kann z nicht isolieren. Das heisst dass mein Problem noch nicht gelöst ist obwohl ich dachte es sollte jetzt klappen. Eure Hilfe ist gefragt. Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hier nochmal der geometrische Zusammenhang. Gesucht die
> Längen x,y,z. gegeben die Längen a,b,c
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> [img]
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> Was ich gemacht habe ist die 3. Fomal nach x aufzulösen ->
>
> x = [mm]\bruch{1}{2} (\wurzel{4c^{2}-3z^{2}}-z)[/mm]
>
> Das kann ich dann mit der ersten Formel gleichsetzen:
>
> [mm]\bruch{1}{2} (\wurzel{4c^{2}-3z^{2}}-z)[/mm] = 1/2 [mm]\wurzel{4a^{2}-3y^{2}}-1/2y[/mm]
>
> ergibt dann nach y aufgelöst
>
> y = [mm]\bruch{1}{4} (\wurzel{16 a^{2}+6 z \wurzel{4 c^{2}-3 z^{2}}-12 c^{2}+6 z^{2}}-\wurzel{4 c^{2}-3 z^{2}}+z)[/mm]
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> eigentlich dache ich ich kann dies mit der zweiten Formel gleichsetzen und nach z auflösen. Tja... leider schaff ich das nicht und kann z nicht isolieren. Das heisst dass mein Problem noch nicht gelöst ist obwohl ich dachte es sollte jetzt klappen. Eure Hilfe ist gefragt. Danke!
Hallo Mtron,
ich habe das Gleichungssystem mal Mathematica gefüttert.
Der Output ist - zumindest für schwache Gemüter - eher
beängstigend:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das von Hand hinzukriegen wäre auch bestimmt sehr mühsam !
LG, Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pict) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 04.12.2012 | | Autor: | Mtron |
Vielen Dank dass Du Dir die Mühe gemacht hast das in Mathematica einzugeben. Ich habe schon bemerkt dass es komplexer wird. Ich arbeite auch daran dies in VB zu lösen. Deshalb auch die erste Formulierung in VB syntax:
a = 70.15962474244
b = 52.170626256544
c = 51.3956033528161
x = (0.5 * (((4 * a ^ 2 - 3 * y ^ 2) ^ 0.5) - y))
y = (0.5 * (((4 * b ^ 2 - 3 * z ^ 2) ^ 0.5) - z))
z = (0.5 * (((4 * c ^ 2 - 3 * x ^ 2) ^ 0.5) - x))
Es gibt eine Eindeutige Lösung nämlich:
x = 40.1
y = 40.912
z = 17.83
Das ist aber zeichnerisch ermittelt oder z.B. hier: www.arndt-bruenner.de/
Aber wie schaffe ich das in meinem VB Programm mit den Variablen a,b,c und beliebigen positiven Werten. Hat jemand eine Idee?
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> Vielen Dank dass Du Dir die Mühe gemacht hast das in
> Mathematica einzugeben. Ich habe schon bemerkt dass es
> komplexer wird. Ich arbeite auch daran dies in VB zu
> lösen. Deshalb auch die erste Formulierung in VB syntax:
>
> a = 70.15962474244
> b = 52.170626256544
> c = 51.3956033528161
>
> x = (0.5 * (((4 * a ^ 2 - 3 * y ^ 2) ^ 0.5) - y))
> y = (0.5 * (((4 * b ^ 2 - 3 * z ^ 2) ^ 0.5) - z))
> z = (0.5 * (((4 * c ^ 2 - 3 * x ^ 2) ^ 0.5) - x))
>
> Es gibt eine Eindeutige Lösung nämlich:
> x = 40.1
> y = 40.912
> z = 17.83
Ich würde noch empfehlen, zu prüfen, ob bei meinem
(etwas anderen) Gleichungssystem dieselbe Lösung
herauskommt !
> Das ist aber zeichnerisch ermittelt oder z.B. hier:
> www.arndt-bruenner.de/
>
> Aber wie schaffe ich das in meinem VB Programm mit den
> Variablen a,b,c und beliebigen positiven Werten. Hat jemand
> eine Idee?
Wie schon gesagt : beschäftige dich
nochmals mit dem geometrischen Problem über einen
anderen Zugang als durch Lösen des vorliegenden
Gleichungssystems !
LG
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> Hier nochmal der geometrische Zusammenhang. Gesucht die
> Längen x,y,z. gegeben die Längen a,b,c
>
> [img]
Hallo Mtron,
ich sehe noch nicht recht, wie du von der Zeichnung auf
die Gleichungen gekommen bist.
Ich habe einfach den Cosinussatz auf alle 3 Teildreiecke
angesetzt und erhalte die Gleichungen
$\ [mm] a^2\ [/mm] =\ [mm] x^2+y^2+x*y$
[/mm]
$\ [mm] b^2\ [/mm] =\ [mm] y^2+z^2+y*z$
[/mm]
$\ [mm] c^2\ [/mm] =\ [mm] z^2+x^2+z*x$
[/mm]
welche etwas einfacher sind als deine. Die algebraische
Auflösung des Systems wird aber ebenfalls sehr kompli-
ziert.
Das zugrunde liegende geometrische Problem ist
übrigens ganz bekannt; es geht um den ![[]](/images/popup.gif) Ersten
Fermat-Punkt in einem Dreieck.
Zur Lösung ist ein trigonometrischer Weg wesentlich
besser als der Weg über Gleichungssysteme !
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 04.12.2012 | | Autor: | Mtron |
Ok. Vielen Dank. Das hilft weiter. Ist doch schön wenn man zumindest mal den Namen des Problems kennt ;)
Ich dachte es ist einfacher oder eleganter dies algebraisch zu lösen. Hab mich dafür eben schon mit Least Squares auseinandergesetzt. Jetzt versuch ichs aber erstmal trigonometrisch.
Gruss M
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Hallo Mtron,
bevor Du an eine trigonometrische Auflösung gehst, schau Dir erst einmal die Geometrie des Ganzen an.
Du kannst in der Tat auch "einfach" die Winkel des großen Dreiecks über den Cosinussatz aus (a,b,c) bestimmen und dann auf jedes der kleinen Dreiecke den Sinussatz loslassen. Das ergibt ein deutlich größeres Gleichungssystem, aber es ist nicht so verschachelt. Trotzdem ist es nicht gemütlich zu lösen.
Zur geometrischen Konstruktion des ersten Fermatpunkts gibt es eine Variante, die ich nicht mal eben im Netz finde. Auf jeden Fall steht sie nicht im Wikipedia-Artikel.
Errichte auf zwei der äußeren Seiten ein gleichseitiges Dreieck "nach außen" (also wie in der Wiki-Konstruktion). Bestimme die Mittelpunkte dieser gleichseitigen Dreiecke. Schlage um jeden der Mittelpunkte einen Kreis, der durch die den beiden Seiten gemeinsame Ecke geht. Der zweite Schnittpunkt der beiden Kreise ist der gesuchte Fermatpunkt.
Leider hilft auch das nicht sehr, um die Rechnung zu vereinfachen, aber vielleicht ist ja eine konstruktive Lösung ausreichend?
Grüße
reverend
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