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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 07.05.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Betrachte folgende Diff´gleichung:
x´= - |xt| ; t,x [mm] \in \IR,
[/mm]
a) Zu jedem Anfangswert x(0) = [mm] \alpha \ge [/mm] 0 existiert genau eine nichtnegative Lösung auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
Bestimme diese!
b) Ist t [mm] \mapsto [/mm] x(t) eine Lösung der Diffgleichung auf einem Intervall I, so ist [mm] \overline{x} [/mm] : t [mm] \mapsto [/mm] -x(-t) eine Lösung auf dem gespiegelten Intervall -I:= {x [mm] \in \IR [/mm] : -x [mm] \in [/mm] I}
c) Bestimme die allgemeine lösung der Diffgleichung! |
hallo leute!
ich habe versucht, die aufgabe zu lösen und habe es auch (denke ich) ansatzweise geschafft. allerdings komme ich nicht weiter oder weiß bzw. nicht, wie ich anfangen soll.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
erstmal meine lösung zur aufgabe c) :
x´= -|xt|
x´(t) = -x(t) |t|
x´(t) + x(t) |t| = 0
[mm] \bruch{x´(t)}{x(t)} [/mm] = -|t|
ln (x(t)) = - [mm] \bruch{1}{2} t^{2} [/mm] + c (Konstante c)
x(t) = C [mm] e^{- \bruch{1}{2} t^{2}} [/mm] mit C = [mm] e^{c}
[/mm]
Das ist die allgemeine Lösung der DGL. stimmt das?
ansatz zur a) :
laut def. ergibt sich die kostante C eindeutig durch den anfangswert mit folgender formel:
C = [mm] e^{G(t)} \alpha
[/mm]
also: C = [mm] e^{G(t)} \alpha [/mm] = [mm] e^{0} \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] mit G(t) = [mm] \bruch{1}{2} t^{2} [/mm] und t = 0
Da [mm] \alpha [/mm] = C ist und C wegen C = [mm] e^{c} [/mm] immer positiv ist, gilt also, dass es auf [mm] \IR [/mm] eine nicht negative Lösung gibt.
stimmt mein ansatz? aber wie zeige ich, dass GENAU EINE nicht negative lösung existiert?
zur b) :
könnt ihr mir bitte einen tipp geben, wie ich die aufgabe angehe? ich finde keinen vernünftigen ansatz.
vielen dank für eure hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 08.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Original von VHN:
[mm] \bruch{x'(t)}{x(t)} [/mm] = -|t|
ln (x(t)) = - [mm]\bruch{1}{2} t^{2}[/mm] + c (Konstante c)
An dieser Stelle machst du den entscheidenden Fehler - zur Kontrolle: Die Ableitung von [mm] $-\frac{1}{2}t^2+c$ [/mm] ist eben nicht $-|t|$, sondern nur $-t$. Auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] lautet die Stammfunktion [mm] $-\frac{1}{2}t\cdot [/mm] |t|+c$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 08.05.2006 | | Autor: | VHN |
erstmal vielen dank für Ihre antwort.
jetzt weiß ich zwar, was die richtige allgemeine lösung der DGL ist, aber leider wurden mir meine fragen auf a) sowie b) nicht beantwortet.
ich hoffe, Sie oder jemand anderes können mir da weiterhelfen. ich wäre sehr dankbar!
Gruß VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
zua): angenommem es gibt eine 2. Lösung x2(t), dann hat x1(t)-x2(t) den Anfangswert 0, und d.h. x1(t)-x2(t)=0.
zub) setz -t in die Lösg ein und verifizier, dass es dasselbe ist. Du kannst es aber auch direkt aus der Dgl ablesen, so ist das wohl gemeint, da c ja später kommt.
(wahrscheinlich gilt das auch für a) falls eine Lsg. existiert, und eine 2. Löst, dann ist wegen Anfangswert 0 auch x#=0, daraus x''=0 usw.)
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:37 Di 09.05.2006 | | Autor: | VHN |
hallo leduart!
ich würde gern nur nochmal knapp meine lösung posten, so wie ich sie jetzt verstanden habe. zur kontrolle.
zu a) angenommen es gibt zwei nichtnegative lösungen [mm] x_{1}(t), x_{2}(t) [/mm] auf ganz [mm] \IR, [/mm] dann gilt ja für beide [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{2}(0) [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
also [mm] x_{1}(0) [/mm] - [mm] x_{2}(0) [/mm] = 0, dann [mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] x_{2}(t).
[/mm]
stimmt das so?
zu b) x(-t) = [mm] \alpha e^{-\bruch{1}{2}(-t)^{2}} [/mm] = [mm] \alpha e^{-\bruch{1}{2} t^{2}} [/mm] = x(t)
jetzt habe ich zwar verifiziert, dass es dasselbe ist, aber mir ist der zusammenhang zur lösung auf dem gespiegelten intervall -I nicht wirklich klar.
kannst du mir das bitte nochmal erklären?
zu c) stimmt die allgemeine lösung, wie DirkG sie mir korrigiert hat?
vielen dank für deine hilfe!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 11.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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