Lösungen der Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Falls eine Primitivwurzel mod m [mm] \in \IN [/mm] exisitiert, so gibt es maximal zwei modulo m verschiedene Lösungen der Kongruenz [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod m |
Hallo erstmal!
Ich weiß, dass Primitivwurzeln mod m nur für m=1, 2, 4, [mm] p^a, 2p^a [/mm] mit ungerader Primzahl a existieren. Reicht es dann, wenn ich die Kongruenz einfach für die unterschiedlichen m auflöse?
Für m= 1 wäre es dann eine Lösung, für m=2 bzw.4 zwei Lösungen. Was mache ich mit den anderen beiden m? Bekomme ich für [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 [mm] \mod 2*p^{a} [/mm] nach dem chinesischen Restsatz nicht 4 Lösungen?
Grüße,
Maren
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Fr 02.02.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Maren!
> Zeigen Sie: Falls eine Primitivwurzel mod m [mm]\in \IN[/mm]
> exisitiert, so gibt es maximal zwei modulo m verschiedene
> Lösungen der Kongruenz [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod m
> Ich weiß, dass Primitivwurzeln mod m nur für m=1, 2, 4,
> [mm]p^a, 2p^a[/mm] mit ungerader Primzahl a existieren. Reicht es
> dann, wenn ich die Kongruenz einfach für die
> unterschiedlichen m auflöse?
Mod 9 ist 2 Primitivwurzel (2 => 4 => 8 => 7 => 5 => 1), das widerspricht anscheinend deiner Behauptung.
> Für m= 1 wäre es dann eine Lösung, für m=2 bzw.4 zwei
> Lösungen. Was mache ich mit den anderen beiden m? Bekomme
> ich für [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 [mm]\mod 2*p^{a}[/mm] nach dem chinesischen
> Restsatz nicht 4 Lösungen?
Wann es eine Primitivwurzel gibt, muß dich doch gar nicht kümmern. Die Behauptung ist doch: Wenn es eine gibt, dann ...
Versuch doch mal, die Behauptung als Aussage über zyklische Gruppen zu formulieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke, hat gut geschmeckt 
> Mod 9 ist 2 Primitivwurzel (2 => 4 => 8 => 7 => 5 => 1),
> das widerspricht anscheinend deiner Behauptung.
Hatte oben falsch formuliert. Muss natürlich heissen "für eine ungerade Primzahl p und eine natürliche Zahl a". Aber was bedeutet (2 => 4 => 8 => 7 => 5 => 1) ?
> Versuch doch mal, die Behauptung als Aussage über
> zyklische Gruppen zu formulieren.
Ich weiss nur, dass eine zyklische Gruppe von einem Element und seinen Potenzen erzeugt wird. Dies könnte man doch mit der Eigenschaft der Primitivwurzel ( erzeugt die prime Restklassengruppe) gleichsetzen.? Aber wie wende ich das jetzt an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Sa 03.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo frustriert
Wenn [mm] $x^2=1$ [/mm] Modulo m, dann liegt doch x in der Einheitengruppe von [mm] $(\IZ/m\IZ)^\ast$. [/mm] Jetzt ist die Frage, wieviele Elemente der Ordnung 2 kann es geben, wenn die Einheitengruppe zyklisch ist.
Das ist jetzt eine rein gruppentheortetische Frage. Sei G eine zyklische Gruppe, wieviele Elemente der Ordnung 2 kann G haben?
mfG Moudi
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Erstmal danke moudi, aber irgendwie bin ich jetzt total durcheinander... Ich komme da echt nicht weiter. Wahrscheinlich ist es gar nicht schwer, aber ich habe keine Ahnung, wie eine saubere Lösung aussehen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 04.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo frustriert
Das ist jetzt aber wirklich nicht mehr schwierig. Ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung n, dann ist G isomorph zu [mm] $(\IZ/n\IZ,+)$. [/mm] Und ein Element x hat die Ordnung 2 in dieser Gruppe, wenn x+x=0 Modulo n.
Ist n ungerade, so folgt aus $x+x=2x=0$, dass $x=0$, da in diesem Fall 2 multiplikativ invertierbar ist Modulo n.
Ist n gerade, so gibt es zwei Möglichkeiten, entweder ist x=0 oder x=n/2 Modulo n.
mfG Moudi
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Guten Morgen!
Erstmal Danke, das war ja wirklich nicht mehr so schwer. Ich wusste nur nicht, dass ich die Isomorphie von $ [mm] (\IZ/n\IZ,+) [/mm] $ ausnützen kann. Habe jetzt aber noch eine ähnliche Frage:
Sei m [mm] \in \IN [/mm] und es gebe zwei verschiedene Primzahlen p und q, die m teilen. Dann besitzt die Kongruenz [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod m mindestens 4 mod m verschiedene Lösungen.
Kann ich hier jetzt eventuell mit dem chinesischen Restsatz argumentieren und somit einfach z.B. [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod p [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1 mod p lösen, oder muss ich wieder über zyklische Gruppen argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mo 05.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Jetzt ich mal wieder:
> Erstmal Danke, das war ja wirklich nicht mehr so schwer.
> Ich wusste nur nicht, dass ich die Isomorphie von
> [mm](\IZ/n\IZ,+)[/mm] ausnützen kann. Habe jetzt aber noch eine
> ähnliche Frage:
>
> Sei m [mm]\in \IN[/mm] und es gebe zwei verschiedene Primzahlen p
> und q, die m teilen. Dann besitzt die Kongruenz [mm]x^{2} \equiv[/mm]
> 1 mod m mindestens 4 mod m verschiedene Lösungen.
Gemeint ist wohl: p und q ungerade Primzahlen
> Kann ich hier jetzt eventuell mit dem chinesischen Restsatz
> argumentieren und somit einfach z.B. [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod p
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\pm[/mm] 1 mod p lösen, oder muss ich wieder über
> zyklische Gruppen argumentieren?
Sowohl als auch! Aus den vorhergehenden Beiträgen weißt du, daß es für ungerade p 2 Lösungen der Kongruenz [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 gibt. Ebenso für q. Aus denen baust du dann mit dem chin. Restsatz 4 Lösungen für m zusammen.
Such sie mal für m = 35.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mo 05.02.2007 | | Autor: | frustriert |
Danke, dann wende ich einfach erst den oberen Teil an und argumentiere dann mit dem Restsatz weiter...
Gruß, Maren
P.S.: Die Lösungen mod 35 sind 1,-1,6 und 29
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Di 06.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Maren,
ich hatte bei meiner Antwort und bei meinem Beispiel verdrängt, daß ja auch Potenzen von p vorkommen können. Dann mußt du eine Lösung von [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod p est zu einer Lösung von [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod [mm] p^{r} [/mm] ausbauen, deswegen heißt es in der Aufgabe 'mindestens 4'.
Schönen Tag noch
Dieter
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