Lösungen einer Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Cordy |
| Aufgabe | | Wie viele Lösungen hat die Gleichung [mm]x^2+y^2 = 4z +3[/mm] mit [mm]x,y,z, \in \IZ[/mm]? |
Hallo zusammen,
ich bin neu hier und hoffe erstmal natürlich, alles richtig eingegeben zu haben. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. 
In der Aufgabenstellung wird ja nach der Anzahl der Lösungen der Gleichung gefragt, ich habe dies bereits mit einigen Freunden diskutiert, die Ergebnisse gingen jedoch sehr weit auseinander, daher hoffe ich, dass mir hier geholfen werden kann.. meiner Freundin und mir geht diese Aufgabe nun seit fast 3 Wochen nicht aus dem Kopf
Der Ansatz war, die Gleichung nach z aufzulösen. Dann würde man folgendes erhalten:
[mm]z = \frac{x^2+y^2-3}{4} [/mm] bzw.
[mm]z = \frac {x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - \frac{3}{4}[/mm]
Jemand meinte, dass man hieraus schon, dadurch, dass die ganzen Zahlen ja unbeschränkt sind, sehen würde, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Wir sind mal einige Beispiele durchgegangen, haben aber kein Zahlenpaar gefunden, was darauf passen würde. Daher hat meine Freundin die Vermutung, dass es gar keine Lösung für die Gleichung gibt.
Was sich jedenfalls weiter aus der Gleichung ergibt ist, dass 4z immer gerade sein muss, demnach müssen entweder x oder y ungerade, das jeweilige Andere dann gerade sein.
Aussagenlogisch also so formuliert: [mm] x\ xor\ y = 1\ (mod 2) \wedge x\ xor\ y = 0\ (mod 2)[/mm] (etwas unsauber, aber sollte klar sein, denke ich). Durch die -3 am Ende wird der Term dann ja wieder gerade.
Hier enden leider unsere Überlegungen. Daher hoffen wir, dass uns hier weitergeholfen werden kann, damit wir Nachts wieder ruhig schlafen können
Viele Grüße,
Cordy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mo 16.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Werte kann [mm] x^2 [/mm] mod 4 annehmen? ebenso [mm] y^2, [/mm] welche werte also die Summe? kann 3 vorkommen?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Cordy |
Hallo,
naja, [mm]x^2[/mm] mod 4 und [mm] $y^2 [/mm] mod 4 können entweder 0 oder 1 sein. Demnach kann die Summe aus den beiden 0, 1 oder 2 sein. Demzufolge kommt die 3 wohl nicht vor. Ich weiß allerdings nicht, inwiefern das die Aufgabenstellung beantwortet...
Viele Grüße
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Hallo,
naja wenn die linke Seite der Gleichung immer 0,1 oder 2 Mod 4 ist und die rechte immer 3 Mod 4 ist, folgt sofort daraus das [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] nie gleich 4z + 3 ist, in den ganzen Zahlen.
Mit freundlichen Grüßen Philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mo 16.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^2+y^2-3 [/mm] müssen doch 0 mod 4 sein da 4z=0 mod4
bzw 4z+3=3mod4 was [mm] x^2+y^2 [/mm] nicht sein können.
Gruss leduart
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