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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
| Aufgabe | Bestimme durch sorgfältige Fallunterscheidung alle x [mm] \in \IR, [/mm] die die Ungleichung erfüllen:
1. 3+2x [mm] \le \bruch{3}{2-x}
[/mm]
2. |x| < [mm] \bruch{1}{2}x+1 [/mm] |
Ich habe eine Reihe dieser Aufgaben hier, die ich lösen möchte. Die beiden habe ich jetzt mal als Beispiel ausgewählt. Bitte verzeiht mir eventuelle Dummheiten, meine Schulzeit ist einfach zu lange her...
Mir ist jetzt unklar, wie genau ich diese Fallunterscheidung präzise berechnen kann.
Für die erste Aufgabe habe ich mir mal die beiden Terme mit einem Funktionsplotter zeichnen lassen. Daraus lässt sich zwar das Ergebnis ablesen, wirklich präzise ist das allerdings nicht.
Wie kann ich das aber rechnerisch ermitteln? Wie ich die Schnittpunkte herausfinde, ist mir klar, aber wie kann ich den Wertebereich bei der Ungleichung elegant ermitteln?
Die zweite Aufgabe ist vom Aufbau ja sehr ähnlich, nur das |x| irritiert mich. Wie kann ich damit in den Ungleichungen rechnen?
Danke euch schonmal.
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1. Aufgabe:
Multipliziere einmal mit dem Hauptnenner. Dabei brauchst du eine Fallunterscheidung Hauptnenner Positiv und Hauptnenner Negativ (also die Definitionsbereiche deiner Fälle).
Nach etwas Rechnen hast du dann eine normale Ungleichung, von der du die Lösungsmenge ausrechnen musst. Jetzt schneidest du die jeweiligen Lösungsmengen mit den Definitionsbereichen und ferig.
2. Aufgabe:
Geht ähnlich. Außer dass du die Fallunterscheidung beim Weglassen der Betragsstriche benötigst.
Gruß Schlucher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
Ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht, wie ich die Fallunterscheidung benutzen soll.
Ich habe beim herumprobieren folgendes gerechnet:
3+2x*(2-x) [mm] \le [/mm] 3
[mm] 6+4x-3x-2x^2 \le [/mm] 3
[mm] -2x^2+x \le [/mm] -3
[mm] x^2+x \le [/mm] 1,5
Wie kann ich da nun noch eine Fallunterscheidung, ob 2-x (der Hauptnenner) größer oder kleiner als 0 ist einbeziehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 25.04.2006 | | Autor: | vicious |
Hallo!
Eine Fallunterscheidung brauchst du, weil sich beim Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdreht...
wenn du also mit (2-x) multiplizierst, dann musst du dir überlegen, wann das größer, kleiner oder gleich Null wird
Viel Spass noch:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
Sorry, aber ich habe nicht gefragt wozu die Fallunterscheidung dient, sondern wie ich sie hier konkret benutze bzw. wie meine Rechnung aussieht.
Kann mir da jemand bitte mal mit einer Rechnung auf die Sprünge helfen? Ich habe sowas noch nie gemacht und werde aus dem reinen Skript meines Profs auch nicht schlau.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Di 25.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo frau-u,
> Sorry, aber ich habe nicht gefragt wozu die
> Fallunterscheidung dient, sondern wie ich sie hier konkret
> benutze bzw. wie meine Rechnung aussieht.
In Deiner früheren Rechnung hast Du ja nicht berücksichtigt, dass (2-x) ja kleiner als null sein kann, sich dann also das [mm] $\le$ [/mm] umdreht.
Konkret:
$3+2x [mm] \le \bruch{3}{2-x}$
[/mm]
Fall 1: $2-x [mm] \ge [/mm] 0$
$(3+2x)(2-x) [mm] \le [/mm] 3$
weiterrechnen, wie Du's getan hast.
Fall 2: $2-x < 0$
$(3+2x)(2-x) [mm] \ge [/mm] 3$
entsprechend weiterrechnen.
Dann noch beide Lösungsmengen sinnvoll kombinieren.
Zu den Betragstrichen:
Diese werden ja generell auch mit einer Fallunterscheidung aufgelöst:
Fall 1: $|x| [mm] \ge [/mm] 0 \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ |x| = x$
Fall 2: $|x| < 0 \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ |x| = -x$
Das führt Dich dann auch wieder zu zwei geringfügig (aber doch wesentlich) unterschiedlichen Ungleichungen, von denen in einer sich ja wegen $*(-1)$ das Ungleichheitszeichen umdreht.
Ich hoffe, ich konnte die Unklarheiten beseitigen?
Sonst frag gern wieder nach!
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
OK, jetzt ist erstmal alles klar - ich hatte nicht daran gedacht, dass sich das [mm] \le [/mm] umdreht. So ist es aber natürlich logisch, dass man beides unterscheiden muss.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 25.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo frau-u,
oha, ich sehe gerade, dass die erste Aufgabe ja zu einer quadratischen Ungleichung führt...
Da ist dann nochmal eine Fallunterscheidung fällig, da ja:
[mm] $x^2 [/mm] > a [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x > [mm] \wurzel{a} [/mm] \ [mm] \vee [/mm] \ x < [mm] -\wurzel{a}$
[/mm]
Vielleicht kannst Du das selber ausklabüsern.
Ich fürchte, da muss man statt einfach die pq-Formel anzuwenden tatsächlich "zu Fuß" mit quadratischer Ergänzung arbeiten und an der richtigen Stelle, beim Wurzelziehen, diese nächste Fallunterscheidung einbauen.
Schöne Grüße,
ardik
PS.
Deshalb hatte ich Deine Frage auch wieder auf "unbeantwortet" zurückgesetzt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
Ja, die quadratische Ergänzung habe ich auch schon wieder ausgekramt.
Allerdings bin ich jetzt ein wenig ratlos... meine Lösungsansätze stimmen hinten und vorne nicht.
Wir haben Fall 1 mit (2-x)>0, also x<2:
Nach der Rechnung (s. o.) komme ich hier auf:
[mm] x^2+x \le [/mm] 1,5
Nach quadratischer Ergänzung gilt dann (gerundet):
x [mm] \le [/mm] -1,823
Fall 2: (2-x)<0, also x>2
Rechnung wie oben:
[mm] x^2+x \ge [/mm] 1,5
x [mm] \ge [/mm] 0,823
Da hier aber x>2 sein soll, gilt vermutlich eher x>2
Wenn man dann allerdings eine Probe macht, haut das alles nicht hin.
So erfüllt z.B. x=3 nicht die Ungleichung.
Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 25.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo frauu
> Wir haben Fall 1 mit (2-x)>0, also x<2:
> Nach der Rechnung (s. o.) komme ich hier auf:
> [mm]x^2+x \le[/mm] 1,5
Das ist schon falsch!
Die Zeile davor [mm] war:$-2x^2+x<-3$
[/mm]
du hast durch (-2) dividiert und dabei das <-Zeichen nicht umgedreht UND x nicht halbiert.! richtig wäre [mm] $x^2-x/2>1,5
[/mm]
> Nach quadratischer Ergänzung gilt dann (gerundet):
> x [mm]\le[/mm] -1,823
>
> Fall 2: (2-x)<0, also x>2
> Rechnung wie oben:
> [mm]x^2+x \ge[/mm] 1,5
> x [mm]\ge[/mm] 0,823
> Da hier aber x>2 sein soll, gilt vermutlich eher x>2
hier entsprechende Fehler!
> Wenn man dann allerdings eine Probe macht, haut das alles
> nicht hin.
> So erfüllt z.B. x=3 nicht die Ungleichung.
Zu schnll, zu leichtsinnig. Bei ungl. Zeit nehmen, aufschreiben, was man tut, NICHT an Gleichungen denken!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 25.04.2006 | | Autor: | frau-u |
Ups... das war natürlich wirklich böse. Ich sollte Umformungen etc. mal wirklich gut trainieren, daran hakt es immer wieder.
Jetzt passen aber alle Ergebnisse und ich bin eine ganze Ecke weiter.
Merci an alle, die mir geholfen haben!
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