Lösungsansatz DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Anfangswertaufgabe:
y'' + 4y = 24 sinh(2x)
mit den Anfangsbedingungen y(x=0) = 2 und y'(x=0) = 0 . |
Hallo leute, vielleicht könnt ihr mir helfen.
zuerst muss ich ja die homogene lösung bestimmen. dazu bestimme ich die lösung der charakteristischen gleichung:
[mm] \lambda [/mm] ²+4=0
[mm] \lambda_{1/2}= [/mm] /pm 2j
[mm] y_{h}=C_{1}sin(2x)+C_{1}cos(2x)
[/mm]
ist das soweit richtig?
dann muss ich ja die partikuläre lösung finden. Dazu finde ich aber keinen passenden lösungsansatz.
soll ich sinh(2x) vorher umwandeln in exp oder so lassen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Do 16.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Lösen Sie die Anfangswertaufgabe:
> y'' + 4y = 24 sinh(2x)
> mit den Anfangsbedingungen y(x=0) = 2 und y'(x=0) = 0 .
> Hallo leute, vielleicht könnt ihr mir helfen.
>
> zuerst muss ich ja die homogene lösung bestimmen. dazu
> bestimme ich die lösung der charakteristischen gleichung:
>
> [mm]\lambda[/mm] ²+4=0
> [mm]\lambda_{1/2}=[/mm] /pm 2j
>
> [mm]y_{h}=C_{1}sin(2x)+C_{1}cos(2x)[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
yep, kann man so machen.
>
> dann muss ich ja die partikuläre lösung finden. Dazu
> finde ich aber keinen passenden lösungsansatz.
>
> soll ich sinh(2x) vorher umwandeln in exp oder so lassen?
wenn du dir anschaust, wie die ableitungen der hyperbolischen funktionen aussehen, wirst du schnell drauf kommen. Hoffe, das hilft dir.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
die ableitungen sind bei bei den normalen sin und cos funktionen. ableitung von sinh ist cosh und von cosh ist sinh. das hilt mir leider nicht weiter.
ich hab es versucht mit y=x[Asinh(2x)+Bcosh(2x)], x weil 2 ja eine lösung der charakteristischen gleichung ist.
ich habe das endergebnis erhalten: C1+C2e^−4x+e^2x+3e^−2x
aber da ist kein sin bzw cos aus der homogenen lösung und kein sinh bzw cosh aus der partikulären lösung enthalten. ich komm nicht auf dieses ergebnis. ist das überhaupt richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 16.07.2009 | | Autor: | wogie |
> die ableitungen sind bei bei den normalen sin und cos
> funktionen. ableitung von sinh ist cosh und von cosh ist
> sinh. das hilt mir leider nicht weiter.
>
> ich hab es versucht mit y=x[Asinh(2x)+Bcosh(2x)], x weil 2
> ja eine lösung der charakteristischen gleichung ist.
dieses x hat da eig nix zu suchen. glaub, du verwechselst da was. probiers mal ohne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
das geht irgendwie auch nicht:
y=A*sinh(2x)+B*cosh(2x)
y'=2A*cosh(2x)-2B*sinh(2x)
y''=-4A*sinh(2x)-4B*cosh(2x)
wenn ich das jetzt in die ausgangsgleichung (y''+4y=24sinh(2x)) dann:
0=24sinh(2x)
das geht auch nicht. und dann ist auch nicht die frage geklärt, wo sin bzw cos in der lösung die mir vorgegeben wurde abgeblieben sind.
trotzdem danke für die schnelle hilfe. das forum ist echt super.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 16.07.2009 | | Autor: | wogie |
> das geht irgendwie auch nicht:
>
> y=A*sinh(2x)+B*cosh(2x)
>
> y'=2A*cosh(2x)-2B*sinh(2x)
>
> y''=-4A*sinh(2x)-4B*cosh(2x)
[mm]\cosh'(x)=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\sinh(x)[/mm]
bei den hyperbolschen funktionen, fängt man sich beim ableiten nie irgendwelche vorzeichen ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
danke. stimmt, hab ich ja auch ein beitrag vorher geschrieben wie die ableitungen sind. ich darf nicht so viel mathe machen :)
vielen dank nochmal. ich werd das jetzt nocheinmal probieren und mich dann wieder melden wegen dem sin und cos aus der homogenen lösung...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
wenn ich das denn ausrechne und in die dgl einsetze, bekomm ich für die partikuläre lösung [mm] y_{p}=3sinh(2x)
[/mm]
[mm] y=y_{h}+y_{p}
[/mm]
[mm] y=C_{1}sin(2x)+C_{2}cos(2x)+3sinh(2x)
[/mm]
aber als lösung habe ich [mm] C_{1}+C_{2}e^{-4x}+e^{2x}+3e^{-2x}
[/mm]
ist das vllt das gleiche oder ist die gegebene lösung falsch oder habe ich was falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Do 16.07.2009 | | Autor: | wogie |
> aber als lösung habe ich
> [mm]C_{1}+C_{2}e^{-4x}+e^{2x}+3e^{-2x}[/mm]
sry, ich versteh ned, was du da hingeschrieben hast
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
ja das ist die lösung die ich bekommen habe, zusammen mit den aufgaben. ich versteh die auch nicht, deswegen frag ich ja...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 16.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst einfach die angebliche Loesung in deine gegebene Dgl. einsetzen und fesstellen, dass es keine Loesung ist. Auf dieselbe Weise, kannst du deine loesung nachpruefen.
einzige Moeglichkeit die ich sehe? Loesung zur falschen Aufgabe?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
vielen dank, das heißt also das die lösung die ich jetzt hier gefunden habe aber richtig ist? also die mit sin und cos usw.??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Do 16.07.2009 | | Autor: | wogie |
> vielen dank, das heißt also das die lösung die ich jetzt
> hier gefunden habe aber richtig ist? also die mit sin und
> cos usw.??
Ja, du musst nur noch die 2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen bestimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Do 16.07.2009 | | Autor: | paul87 |
ja das ist klar. vielen dank nochmal für die hilfe!
|
|
|
|
