Lösungskurve implizite DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungskurven der folgenden impliziten DGL:
a) ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
[mm] b)y(x)=(y'(x))^2\dot e^{y'(x)}
[/mm]
c)y(x)=xy'(x)+ [mm] \wurzel{1+(y'(x))^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge bei dieser Aufgabe und hoffe, dass mir hier jemand ein bisschen helfen kann.
habe bei aufgabenteil a folgendermaßen angefangen:
ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
sei p:= y'(x)
ln(p)+sin(p)-x=0
Differentation nach p:
[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + cos(p)-1=0
nun müsste ich das nach p doch auflösen oder?
[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + cos(p)=1
1+ cos(p)*p = p
aber irgendwie schaffe ich es nicht, dass ich das p einzeln hier stehen habe...kann mir vllt jemand ein paar tipps geben?
Gruß,
Kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Bestimmen Sie alle Lösungskurven der folgenden impliziten
> DGL:
>
> a) ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
> [mm]b)y(x)=(y'(x))^2\dot e^{y'(x)}[/mm]
> c)y(x)=xy'(x)+
> [mm]\wurzel{1+(y'(x))^2}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge bei dieser Aufgabe und hoffe, dass mir hier
> jemand ein bisschen helfen kann.
> habe bei aufgabenteil a folgendermaßen angefangen:
>
>
> ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
> sei p:= y'(x)
>
> ln(p)+sin(p)-x=0
Hier steht doch zunächst:
[mm]\ln\left(p\right)+\sin\left(p\right)-x\left(p\right)=0[/mm]
> Differentation nach p:
>
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] + cos(p)-1=0
>
> nun müsste ich das nach p doch auflösen oder?
Nein, nach der Differentiation nach p steht da:
[mm]\bruch{1}{p}+\cos\left(p\right)-\dot{x}\left(p\right)=0[/mm]
Daraus ergibt sich [mm]\dot{x}\left(p\right)[/mm] und somit auch [mm]\dot{y}\left(p\right)[/mm], da [mm]\dot{y}\left(p\right)=p*\dot{x}\left(p\right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] + cos(p)=1
> 1+ cos(p)*p = p
>
> aber irgendwie schaffe ich es nicht, dass ich das p einzeln
> hier stehen habe...kann mir vllt jemand ein paar tipps
> geben?
>
> Gruß,
> Kekschen
Gruss
MathePower
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ach stimmt danke!
hab jetzt also für [mm] \dot{x}(p)
[/mm]
[mm] \dot{x}(p)= \bruch{1}{p}+\cos\left(p\right)
[/mm]
einsetzen in [mm] \dot{y}(p) [/mm] ergibt:
[mm] \dot{y}(p)= [/mm] 1+p [mm] \dot [/mm] cos(p)
so hab dazu jetzt nur eine frage...
muss ich diese beiden funktionen jetzt jeweils noch integrieren um x(p) unf y(p) rauszubekommen?
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Hallo Kampfkekschen,
> ach stimmt danke!
> hab jetzt also für [mm]\dot{x}(p)[/mm]
> [mm]\dot{x}(p)= \bruch{1}{p}+\cos\left(p\right)[/mm]
>
> einsetzen in [mm]\dot{y}(p)[/mm] ergibt:
> [mm]\dot{y}(p)=[/mm] 1+p [mm]\dot[/mm] cos(p)
>
> so hab dazu jetzt nur eine frage...
> muss ich diese beiden funktionen jetzt jeweils noch
> integrieren um x(p) unf y(p) rauszubekommen?
>
[mm]x\left(p\right)[/mm] bekommst Du direkt aus der gegebenen impliziten DGL.
Um [mm]y\left(p\right)[/mm] herauszubekommen mußt Du
[mm]\dot{y}\left(p\right)=1+p*\cos\left(p\right)[/mm]
integrieren.
Gruss
MathePower
>
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hab trotzdem noch eine frage:
woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu bekommen noch integrieren muss?
hab jetzt folgendes raus:
x(p)= [mm] \bruch{1}{p}+ [/mm] cos(p)
y(p)= [mm] \integral_{}^{}{1+p\dot cos(p) dp}
[/mm]
= p + [mm] \integral_{}^{}{p\dot cos(p) dp}
[/mm]
= p + p*sin(p) - [mm] \integral_{}^{}{sin(p)dp}
[/mm]
= p +p*sin(p)+ cos(p)
stimmt das soweit?
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Hallo Kampfkekschen,
> hab trotzdem noch eine frage:
> woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort
> aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu
> bekommen noch integrieren muss?
>
In der gegebenen impliziten DGL kommst x nur linear vor,
daher kannst Du auch sofort [mm]x\left(\p\right)[/mm] angeben.
>
> hab jetzt folgendes raus:
> x(p)= [mm]\bruch{1}{p}+[/mm] cos(p)
>
> y(p)= [mm]\integral_{}^{}{1+p\dot cos(p) dp}[/mm]
> = p +
> [mm]\integral_{}^{}{p\dot cos(p) dp}[/mm]
> = p + p*sin(p) -
> [mm]\integral_{}^{}{sin(p)dp}[/mm]
> = p +p*sin(p)+ cos(p)
>
> stimmt das soweit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Cool danke!
So jetzt hab ich mal mit aufgabenteil b) begonnen
y(x)= [mm] (y'(x))^2 \dot e^{y'(x)}
[/mm]
sei p:=y'(x)
[mm] y(p)=p^2 \dot e^p
[/mm]
[mm] p^2 \dot e^p [/mm] -y(p)=0
Differentation nach p
[mm] 2p*e^p [/mm] + [mm] p^2*e^p -\dot{y}(p)*p=0
[/mm]
[mm] \dot{y}(p)=2*e^p [/mm] + [mm] p*e^p
[/mm]
es gilt [mm] \dot{y}(p)= p*\dot{x}(p)
[/mm]
also folgt:
[mm] 2*e^p [/mm] + [mm] p*e^p [/mm] = [mm] p*\dot{x}(p)
[/mm]
[mm] \dot{x}(p) [/mm] = [mm] \bruch{2*e^p + p*e^p}{p}
[/mm]
stimmt das bis hierhin?
kann ja jetzt quasi y(p) wieder ganz einfach aus der impliziten dgl bestimmen und müsste um x(p) rauszubekommen [mm] \dot{x}(p) [/mm] integrieren (sofern alles richtig ist) oder?
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Hallo Kampfkekschen,
> Cool danke!
>
> So jetzt hab ich mal mit aufgabenteil b) begonnen
> y(x)= [mm](y'(x))^2 \dot e^{y'(x)}[/mm]
> sei p:=y'(x)
> [mm]y(p)=p^2 \dot e^p[/mm]
> [mm]p^2 \dot e^p[/mm] -y(p)=0
>
> Differentation nach p
> [mm]2p*e^p[/mm] + [mm]p^2*e^p -\dot{y}(p)*p=0[/mm]
> [mm]\dot{y}(p)=2*e^p[/mm] +
> [mm]p*e^p[/mm]
>
> es gilt [mm]\dot{y}(p)= p*\dot{x}(p)[/mm]
> also folgt:
> [mm]2*e^p[/mm] + [mm]p*e^p[/mm] = [mm]p*\dot{x}(p)[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]2*\red{p}*e^{p} + p^{\red{2}}*e^{p} = p*\dot{x}(p)[/mm]
> [mm]\dot{x}(p)[/mm] = [mm]\bruch{2*e^p + p*e^p}{p}[/mm]
>
> stimmt das bis hierhin?
> kann ja jetzt quasi y(p) wieder ganz einfach aus der
> impliziten dgl bestimmen und müsste um x(p) rauszubekommen
> [mm]\dot{x}(p)[/mm] integrieren (sofern alles richtig ist) oder?
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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also irgendwie komme ich nicht auf das [mm] :2\cdot{}\red{p}\cdot{}e^{p} [/mm] + [mm] p^{\red{2}}\cdot{}e^{p} [/mm] = [mm] p\cdot{}\dot{x}(p)
[/mm]
denn wenn ich die Differentation nach p durchführe dann komme ich auf [mm] \dot{y}(p)*\red{p} =2p*e^p+p^2*e^p [/mm] dann muss ich doch durch p teilen um nur [mm] \dot{y}(p) [/mm] zu bekommen also wäre das dann
[mm] \dot{y}(p) [/mm] = [mm] 2*e^p+pe^p
[/mm]
und das in die formel [mm] \dot{y}(p) [/mm] eingesetzt gibt
[mm] \dot{y}(p)=p*\dot{y} [/mm] (p)
und deshalb hab ich das [mm] \dot{y}(p) [/mm] = [mm] 2*e^p+pe^p [/mm] = p* [mm] \dot{x}(p) [/mm] gesetzt...was ich hier denn falsch beachtet? ich komm da nicht drauf..
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Hallo Kampfkekschen,
> also irgendwie komme ich nicht auf das
> [mm]:2\cdot{}\red{p}\cdot{}e^{p}[/mm] + [mm]p^{\red{2}}\cdot{}e^{p}[/mm] =
> [mm]p\cdot{}\dot{x}(p)[/mm]
>
> denn wenn ich die Differentation nach p durchführe dann
> komme ich auf [mm]\dot{y}(p)*\red{p} =2p*e^p+p^2*e^p[/mm] dann muss
> ich doch durch p teilen um nur [mm]\dot{y}(p)[/mm] zu bekommen also
> wäre das dann
> [mm]\dot{y}(p)[/mm] = [mm]2*e^p+pe^p[/mm]
>
> und das in die formel [mm]\dot{y}(p)[/mm] eingesetzt gibt
> [mm]\dot{y}(p)=p*\dot{y}[/mm] (p)
> und deshalb hab ich das [mm]\dot{y}(p)[/mm] = [mm]2*e^p+pe^p[/mm] = p*
> [mm]\dot{x}(p)[/mm] gesetzt...was ich hier denn falsch beachtet? ich
> komm da nicht drauf..
[mm]y\left(p\right)[/mm] ist nach p differenziert [mm]\dot{y}\left(p\right)[/mm] und nicht [mm]p*\dot{y}\left(p\right)[/mm].
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | hab trotzdem noch eine frage:
woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu bekommen noch integrieren muss?
hab jetzt folgendes raus:
x(p)= $ [mm] \bruch{1}{p}+ [/mm] $ cos(p) |
müsste es nicht
x(p) = ln (p) + sin (p) sein,
wenn dass direkt aus der dgl folgt?
was Kampfkekschen geschrieben hat ist doch die Differentiation, oder habe ich das falsch verstanden?
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Hallo Teufelchen6,
> hab trotzdem noch eine frage:
> woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort
> aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu
> bekommen noch integrieren muss?
>
>
> hab jetzt folgendes raus:
> x(p)= [mm]\bruch{1}{p}+[/mm] cos(p)
> müsste es nicht
>
> x(p) = ln (p) + sin (p) sein,
>
> wenn dass direkt aus der dgl folgt?
So isses.
> was Kampfkekschen geschrieben hat ist doch die
> Differentiation, oder habe ich das falsch verstanden?
Das hast Du schon richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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Ich habe die c) folgendermaßen angefangen zu lösen:
mit y' := p folgt
y(p) = x(p)*p + [mm] \wurzel{1+ p^{2}}
[/mm]
nach Differentiation
[mm]\dot y [/mm](p) = [mm]\dot x [/mm] *p + x(p) + [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}
[/mm]
dann
x(p) = - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}
[/mm]
in y(p) einsetzen:
y(p) = - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ p^{2}}}
[/mm]
p = - [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+ x^{2}}}
[/mm]
in y(p) einsetzen
y(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+
\bruch{x^{2}}{1+ x^{2}}}}
[/mm]
eine Lösung der DGL (Enveloppe)
allgemeine Lösungen sind dann y(x) = cx + [mm] \wurzel{1+ c^{2}} [/mm] eine Geradenschar
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Hallo Teufelchen6,
> Ich habe die c) folgendermaßen angefangen zu lösen:
>
> mit y' := p folgt
>
> y(p) = x(p)*p + [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>
>
> nach Differentiation
>
> [mm]\dot y [/mm](p) = [mm]\dot x[/mm] *p + x(p) + [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
>
> dann
>
> x(p) = - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
> in y(p) einsetzen:
>
> y(p) = - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] + [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
>
> p = - [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+ x^{2}}}[/mm]
Die Auflösung von
[mm]x = - \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
nach p stimmt nicht.
>
> in y(p) einsetzen
>
> y(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+
\bruch{x^{2}}{1+ x^{2}}}}[/mm]
>
> eine Lösung der DGL (Enveloppe)
> allgemeine Lösungen sind dann y(x) = cx + [mm]\wurzel{1+ c^{2}}[/mm]
> eine Geradenschar
>
Gruss
MathePower
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Das habe ich mir fast schon gedacht.
Ich hoffe ich habe jetzt den Fehler.
p = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Stimmt das so?
y(x) wäre dann entsprechend so wie vorher nur der Bruch unter der Wurzel wäre anders.
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Hallo Teufelchen6,
> Das habe ich mir fast schon gedacht.
>
> Ich hoffe ich habe jetzt den Fehler.
>
> p = [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja.
>
> y(x) wäre dann entsprechend so wie vorher nur der Bruch
> unter der Wurzel wäre anders.
Das kann dann noch vereinfacht werden
Gruss
MathePower
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Super, dass mache ich.
Vielen Dank fürs drüberschauen und korrigieren. :)
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hallo,
hab mal wieder eine frage dazu!
ich hab den anfang genauso gerechnet aber wenn ich jetzt mein x(p)= - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] in y(p) einsetze dann hab ich doch
y(p)= p*x(p)+ [mm] \wurzel{1+ p^{2}}
[/mm]
also folgt bei mir
y(p)= p* [mm] (-\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] )+ [mm] \wurzel{1+ p^{2}}
[/mm]
also y(p)= [mm] -\bruch{p^2}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel{1+ p^{2}}
[/mm]
wo mach ich hier denn meinen fehler? sieht das vllt jemand?
danke schonmal!!
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Hallo Kampfkekschen,
> hallo,
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> hab mal wieder eine frage dazu!
> ich hab den anfang genauso gerechnet aber wenn ich jetzt
> mein x(p)= - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] in y(p) einsetze
> dann hab ich doch
> y(p)= p*x(p)+ [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>
> also folgt bei mir
> y(p)= p* [mm](-\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] )+ [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>
> also y(p)= [mm]-\bruch{p^2}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] + [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>
> wo mach ich hier denn meinen fehler? sieht das vllt
> jemand?
Bis hierhin stimmt das.
Bringe jetzt die rechte Seite auf den Hauptnenner.
>
> danke schonmal!!
Gruss
MathePower
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Habs dann doch noch gesehen!! Also danke für die Antwort!! ;)
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