Lösungsm. inhomogene Gleichung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 19.12.2012 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Beweisen Sie für ax+by=c
Sei [mm] v_{0} [/mm] eine spezielle Lösung der ¨
Gleichung. Es gilt:
[mm] L_{a,b,c}=v_{0} [/mm] + [mm] L_{a,b} [/mm] := [mm] \{ v_{0} + v|v ∈ L_{a,b}\}
[/mm]
[mm] L_{a,b,c}= g_{v_0,v} =\{v_{0}+ tv|t ∈ R\}
[/mm]
mit v := (b, −a)
Gehen Sie vor, wie im homogenen Fall |
Im homogenen Fall sind wir so vorgegangen:
Einerseits hat jeder Punkt der Geraden [mm] g_{v}die [/mm] Form
t(b, −a) = (tb, −ta) mit t ∈ R. Diese Punkte liegen in [mm] L_{a,b}:
[/mm]
atb + b(−ta) = atb − atb = 0
Sei andererseits (x, y) ∈ [mm] L_{a,b}. [/mm] Wir nehmen an a [mm] \not=0; [/mm] dann gilt:
[mm] x=-\bruch{b}{a}y [/mm]
d.h.:
(x, y) = [mm] (-\bruch{b}{a}y,y)= -\bruch{y}{a}(b, [/mm] −a) ∈ [mm] g_{v} [/mm] .
Gilt a = 0, so muss gelten b [mm] \not= [/mm] 0, und man kann dann analog
vorgehen.
Ich war in der Vorlesung nicht da und bin im beweisen sowieso nicht gut. Ich weiß, dass die Lösungsmenge einer inhomogenen Gleichung, die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung plus einer Partikularlösung ist. Nun weiß ich leider nicht wie ich den Beweis führen muss und morgen muss ich die Aufgabe abgeben :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Do 20.12.2012 | | Autor: | meili |
Hallo ninime,
> Beweisen Sie für ax+by=c
>
> Sei [mm]v_{0}[/mm] eine spezielle Lösung der ¨
> Gleichung. Es gilt:
>
> [mm]L_{a,b,c}=v_{0}[/mm] + [mm]L_{a,b}[/mm] := [mm]\{ v_{0} + v|v \in L_{a,b}\}[/mm]
>
> [mm]L_{a,b,c}= g_{v_0,v} =\{v_{0}+ tv|t \in R\}[/mm]
> mit v := (b,
> −a)
>
> Gehen Sie vor, wie im homogenen Fall
>
>
>
> Im homogenen Fall sind wir so vorgegangen:
>
> Einerseits hat jeder Punkt der Geraden [mm]g_{v}die[/mm] Form
> t(b, −a) = (tb, −ta) mit t ∈ R. Diese Punkte liegen
> in [mm]L_{a,b}:[/mm]
>
> atb + b(−ta) = atb − atb = 0
Für den inhomogen Fall:
Wie kannst Du jeden Punkt der Geraden [mm] $g_{v_0,v}$ [/mm] allgemein darstellen?
Diesen dann in die inhomogene Gleichung einsetzen und sie sollte erfüllt sein.
Für [mm]L_{a,b,c}=v_{0}[/mm] + [mm]L_{a,b}[/mm] := [mm]\{ v_{0} + v | v \in L_{a,b}\}[/mm],
ein allgemeines Element [mm] $v_{0} [/mm] + v$ in die inhomogene Gleichung einsetzen.
>
> Sei andererseits (x, y) ∈ [mm]L_{a,b}.[/mm] Wir nehmen an a
> [mm]\not=0;[/mm] dann gilt:
>
> [mm]x=-\bruch{b}{a}y[/mm]
>
> d.h.:
>
> (x, y) = [mm](-\bruch{b}{a}y,y)= -\bruch{y}{a}(b,[/mm] −a) ∈
> [mm]g_{v}[/mm] .
>
> Gilt a = 0, so muss gelten b [mm]\not=[/mm] 0, und man kann dann
> analog
> vorgehen.
Für den inhomogen Fall:
[mm](x, y) \in L_{a,b,c}[/mm] betrachten mit x=... (aus inhomogener Gleichung)
und nutzen [mm] $v_0$ [/mm] ist Lösung.
>
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>
> Ich war in der Vorlesung nicht da und bin im beweisen
> sowieso nicht gut. Ich weiß, dass die Lösungsmenge einer
> inhomogenen Gleichung, die Lösung der entsprechenden
> homogenen Gleichung plus einer Partikularlösung ist. Nun
> weiß ich leider nicht wie ich den Beweis führen muss und
> morgen muss ich die Aufgabe abgeben :-(
Gruß
meili
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