Lösungsmenge angeben < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo, das ist hoffentlich meine letzte frage für heute ;)
ich verstehe nicht so ganz, wie man auf die lösungsmenge von einem inhomogenen linearen gleichungssystem kommt.
folgendes hatten wir an der tafel:
[mm] 6x_{1}+5x_{2} [/mm] =11
[mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3}=3
[/mm]
[mm] x_{2}=r
[/mm]
-->
[mm] x_{1}=\bruch{11}{6}-\bruch{5}{6}r
[/mm]
[mm] x_{2}= [/mm] r
[mm] x_{3}=3-2r
[/mm]
[mm] \IL= \{(x_{1};x_{2};x_{3})|(x_{1};x_{2};x_{3})=(1;1;1)+r(-5;6;-12)\}
[/mm]
Soo...wie man auf -5,6 und -12 kommt, ist mir klar, einfach indem man mit 6 multipliziert hat.
Aber wie kommt man auf die einer? wieos steht da nicht [mm] \bruch{11}{6}, [/mm] 0 und 3??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 12.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
ich will nicht zu voreilig sein (habs nur überflogen und is ja auch schon spät^^) aber denke mal, dass deinem lehrer dort ein fehler unterlaufen ist.
wie du schon sagtest wäre es am naheliegendsten (11/6, 0, 3) hinzuschreiben, oder aber mit 6 multipliziert (11, 0, 18).
man kann halt die null multiplizieren wie man lustig ist - verändern wird sie sich nicht.
lg
dennis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
nene, das müsste so stimmen.. hab auch noch andere aufgaben, wo die lösung für mich keinen sinn ergibt.
er meinte auch, dass bei (2;2;2)+r (-9;13;-23) rauskäme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Hast du irgendwelche Aufgabenstellungen oder so vergessen, anzugeben? Meiner Meinung nach ist dein VOrschlag mit 11/6, 0 und 3 genau richtig. Zumindestens bei x2 muss AUF JEDEN FALL eine 0 stehen, da x2 eben nur r ist - sonst NICHTS!
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
nein gar nichts. war einfach nur ein LGS und der aufgabenstellung: Bestimme die lösungsmenge
wir haben im unterricht zwar darüber geredet, wieso es so ist, aber ich habs nicht verstanden ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
r ist doch wohl ein beliebiger Parameter,d.h. man kann x2 frei waehlen. Dann hat dein Lehrer erstmal r=1, dadurch kommt der erste Loesungsvektor zustande, und dann wieder r beliebig, also all die anderen dazu, vielleicht waers besser, es als (1,1,1)+s*(....) zu schreiben.
du kannst genausogut erst mal r=2 oder 77 oder sonst was einsetzen. oder auch r=0, dann hast du deine auch richtige Loesung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Di 13.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
aber wieso verändern sich die zahlen für r nicht, wenn ich statt meiner lösung 1;1;1 einsetze, jeodch wenn ich 2;2;2 einseteze, verändern sie sich zu -9;13;-23?
wie komme ich denn auf diese werte?
wenn ich drei einsetzen würde, woher wüsste ich, was die fehlenden zahlen wären?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> aber wieso verändern sich die zahlen für r nicht, wenn ich
> statt meiner lösung 1;1;1 einsetze, jeodch wenn ich 2;2;2
> einseteze, verändern sie sich zu -9;13;-23?
> wie komme ich denn auf diese werte?
Ich hab viel probiert, aber hier muss sich dein Lehrer vertan haben! Das ist nicht dieselbe loesungsmenge, denn du findest kein r aus der ersten loesungsmenge, so dass (2,2,2) rauskommt. aber die 2. loesung muesste auch fuer r=0 ja eine Loesung sein!
> wenn ich drei einsetzen würde, woher wüsste ich, was die
> fehlenden zahlen wären?!
Du kannst nicht vorn irgendwas einsetzen: du musst ein r aussuchen, dann x1,x2,x3 ausrechnen. bei r=1 ist das zufaellig 1,1,1. bei r=2 waere der Anfang NICHT 2,2,2
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:49 Di 13.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
ja aber wo setze ich die zahlen ein, um auf die lösung zu komme`? ich verstehe nicht, wie ich auf die einer kommt...kann mir das jemand an einem beispiel zeigen?
lg
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> ja aber wo setze ich die zahlen ein, um auf die lösung zu
> komme'? ich verstehe nicht, wie ich auf die einer
> kommt...kann mir das jemand an einem beispiel zeigen?
Hallo,
Du hattest das Gleichungssystem
$ [mm] 6x_{1}+5x_{2} [/mm] $ =11
$ [mm] 2x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3}=3 [/mm] $,
und als Lösung war errechnet
$ [mm] x_{1}=\bruch{11}{6}-\bruch{5}{6}r [/mm] $
$ [mm] x_{2}= [/mm] $ r
$ [mm] x_{3}=3-2r [/mm] $.
Soweit war alles klar, und mit
[mm] \IL=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}| \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{\bruch{11}{6} \\ 0\\3}+r\vektor{-\bruch{5}{6} \\ 1\\-2}\}
[/mm]
= [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}| \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{\bruch{11}{6} \\ 0\\3}+r\vektor{-5 \\ 6\\-12}\}
[/mm]
bist Du einverstanden, richtig?.
Zunächst einmal ist es wichtig, daß die EINE richtige Darstellung der Lösung ist. In einer Klausur wäre das ganz bestimmt richtig so, wenn da nichts anderes geschrieben steht.
Aber Du willst ja wissen, wie man die anderen Darstellungen der Lösung finden kann, den Vektor bei ...:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}= [/mm] ... [mm] +r\vektor{-5 \\ 6\\-12}
[/mm]
Dazu gehst Du oben ins Gleichungssystem. Für dieses suchst Du eine spezielle Lösung.
Es hat zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Daher kannst Du Dir eine Variable frei wählen. Etwa [mm] x_1=1,
[/mm]
[mm] ...=\vektor{1 \\ ...\\...}
[/mm]
Aus der ersten Gleichung errechnest Du [mm] x_2=1. [/mm] also ist
[mm] ...=\vektor{1 \\ 1\\...}, [/mm] und aus der dritten erhältst Du hiermit [mm] x_3=1,
[/mm]
also ist [mm] ...=\vektor{1 \\ 1\\1},
[/mm]
und [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{1 \\ 1\\1}+r\vektor{-5 \\ 6\\-12} [/mm] eine weitere Möglichkeit, die Lösung anzugeben.
Möchtest Du aus irgendwelchen Gründen den Stützvektor so haben, daß seine zweite Komponente =2 ist, setzt Du [mm] x_2=2, [/mm] errechnest [mm] x_1=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] x_3=-1.
[/mm]
Auch [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{\bruch{1}{6} \\ 2\\-1}+r\vektor{-5 \\ 6\\-12} [/mm] ist eine richtige Angabe der Lösung.
Den Richtungsvektor kann man nach Belieben multiplizieren, z.B. mit [mm] \bruch{9}{5}, [/mm] dann bekommt man
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{\bruch{1}{6} \\ 2\\-1}+r\vektor{-9 \\\bruch{54}{5}\\-\bruch{108}{5}}.
[/mm]
Aber eines wirst Du nie als Lösungsmenge für die Gleichung oben bekommen: (2;2;2)+r (-9;13;-23) . Das ist schlichtweg falsch, was Du schon daran siehst, daß (2;2;2) das obige Gleichungssystem nicht löst.
Du mußt Dir keinen Kopf drum machen.
ES IST FALSCH.
Als Richtungsvektoren für Dein GS kommen alle Vielfachen des errechneten Richtungsvektors infrage, als Stützvektor jede Lösung des GS.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 13.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
nun bin ich ein wenig verwirrt - LinA I is ja auch schon ein wenig her, aber sind es nicht genaugenommen 3 gleichungen (mit 3 unbekannten)?
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> nun bin ich ein wenig verwirrt - LinA I is ja auch schon
> ein wenig her, aber sind es nicht genaugenommen 3
> gleichungen (mit 3 unbekannten)?
Hallo,
nein, das zu lösende GS ist
[mm] 6x_{1}+5x_{2}=11
[/mm]
[mm] 2x_{2}+ x_{3}=3 [/mm] .
Gruß v. Angela
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