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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Logarithmengesetze
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Logarithmengesetze: Bruch mit Wurzel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Mi 19.10.2005
Autor: Esperanza

Hallo!

Hier nochmal eine Aufgabe an der ich ein wenig verzweifele, da ziemlich viel drin steckt und ich nicht weiß, was ich zu erst machen soll.

[mm] ln\bruch{e^2(2x^2+\bruch{1}{3}y)}{\wurzel{(x+1)(4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2}} [/mm]

Ist es richtig, dass ich zuerst das Logarithmengesetz für den Bruch und dann das für die Wurzel anwende? Da stünde dann da:

[mm] \{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)(4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2)\} [/mm]

Nun hab ich das ganze ausmultipliziert und dann das Ergebnis zusammengefasst. Mein Ergebnis war dann:

[mm] lne^2+\bruch{1}{3}lnx^2-\bruch{1}{3}lny-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln-2lnx^4-\bruch{1}{18}lny^2 [/mm]

Ich finde das Ergebnis ziemlich lang, also so wahnsinnig vereinfacht finde ich es nicht. Kann man das noch weiter zusammenfassen? Oder bin ich das komplett falsch angegangen?

Danke für eure Hilfe!!! :o)

Esperanza
        
Bezug
Logarithmengesetze: (mal wieder) Korrekturen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Mi 19.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Esperanza!


Du machst hier ähnliche Fehler wie bei der anderen Aufgabe ...


> [mm]ln\bruch{e^2(2x^2+\bruch{1}{3}y)}{\wurzel{(x+1)(4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2}}[/mm]
>  
> Ist es richtig, dass ich zuerst das Logarithmengesetz für
> den Bruch und dann das für die Wurzel anwende? Da stünde
> dann da:
>  
> [mm]\{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)(4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2)\}[/mm]

[daumenhoch] Sehr gut!



> [mm]lne^2+\bruch{1}{3}lnx^2-\bruch{1}{3}lny-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln-2lnx^4-\bruch{1}{18}lny^2[/mm]

[notok] Das ist leider falsch!


Zunächst können wir nur das Produkt im alten Nenner weiter zerlegen:

[mm]2*\ln(e)+\ln\left(2x^2+\bruch{1}{3}y\right)-\bruch{1}{2}*\left[\ln(x+1) + \ln\left(4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2\right)\right][/mm]


Auf [mm] $4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2$ [/mm] lässt sich dann wieder eine MBbinomische Formel anwenden:

[mm] $4x^4+\bruch{4}{3}x^2y+\bruch{1}{9}y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{2x^2}\right)^2 [/mm] + [mm] 2*\red{2x}*\blue{\bruch{1}{3}y} [/mm] + [mm] \left(\blue{\bruch{1}{3}y}\right)^2 [/mm] \ = \ ...$


Versuch das nun mal selber ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Logarithmengesetze: Aufgabenlösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 21.10.2005
Autor: Esperanza

Hallo Leute oder Loddar!!

Loddar, du bist immer wieder einsame spitze! Bei dir versteh ich das super! DANKE!!!! :)

Hab die Aufgabe jetzt alleine zu ende gerechnet:

Die Umformung durch die Binomische Formel habe ich vollzogen. Wäre dann:

[mm] (2x^2+\bruch{1}{3}y)^2 [/mm]

richtig?

Eingesetzt steht dann da:

[mm] \{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)(2x^2+\bruch{1}{3}y)^2\} [/mm]

und weiter:

[mm] \{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)+\bruch{1}{2}ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)^2\} [/mm]

am Ende steht dann da: [mm] lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln-ln(2x^2+\bruch{1}{3}y) [/mm]

Die [mm] ln(2x^2+\bruch{1}{3}y) [/mm] heben sich gegenseitig auf. Da heißt das dann:

[mm] lne^2-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln [/mm]

= [mm] 2lne-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln [/mm]

= [mm] -\bruch{1}{2}ln-\bruch{1}{2}lnx+2 [/mm]

So, ist das jetzt richtig? Könnte ich das Ergebnis noch mit -2 erweitern?

Danke für die Antwort! :o)

Esperanza
Bezug
                        
Bezug
Logarithmengesetze: (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Fr 21.10.2005
Autor: taura

Hallo Esperanza!

> Die Umformung durch die Binomische Formel habe ich
> vollzogen. Wäre dann:
>  
> [mm](2x^2+\bruch{1}{3}y)^2[/mm]
>  
> richtig?

[daumenhoch]

> Eingesetzt steht dann da:
>  
> [mm]\{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)(2x^2+\bruch{1}{3}y)^2\}[/mm]
>  
> und weiter:
>  
> [mm]\{lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)\}-\{\bruch{1}{2}ln(x+1)+\bruch{1}{2}ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)^2\}[/mm]

[ok]

> am Ende steht dann da:
> [mm]lne^2+ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)-\bruch{1}{2}lnx-\bruch{1}{2}ln-ln(2x^2+\bruch{1}{3}y)[/mm]

[notok] Das stimmt leider nicht mehr...

Du darfst [mm]\br{1}{2}\ln(x+1)[/mm] nicht einfach umschreiben in [mm]\br{1}{2}\ln x + \br{1}{2}\ln 1[/mm], ein Plus im Logarithmus lässt sich nicht auflösen, dieser Term muss also so stehen bleiben. Du kannst stattdessen höchstens schreiben: [mm]\br{1}{2}\ln(x+1)=\ln(\wurzel{x+1})[/mm]

Und übrigens: so wie du es geschrieben hast, nämlich nur [mm]\ln[/mm] ohne die 1 ist der Ausdruck garnicht definiert, du musst dem [mm]\ln[/mm] immer irgendwas übergeben, sprich es muss immer eine Zahl oder ein Ausdruck dahinter stehen.

Gruß taura
Bezug
                                
Bezug
Logarithmengesetze: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Fr 21.10.2005
Autor: Esperanza

Hallo Taura!

Danke für deine Antwort! Also demnach wäre mein Ergebnis dann:
[mm] 2-\wurzel{ln(x+1)} [/mm]

Ist das jetzt richtig?

Gilt das eigentlich auch für Subtraktion, dass man den Ausdruck so stehen lassen muss?

Also zum Beispiel: [mm] ln(x^2-y) [/mm]

Danke für die Antwort.

Esperanza
Bezug
                                        
Bezug
Logarithmengesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Fr 21.10.2005
Autor: taura

Hallo Esperanza!

> Danke für deine Antwort! Also demnach wäre mein Ergebnis
> dann:
>  [mm]2-\wurzel{ln(x+1)}[/mm]
>  
> Ist das jetzt richtig?

Naja, fast (siehe meine Änderung im anderen Artikel). Es muss heißen:
[mm]2-\ln(\wurzel{x+1})[/mm]

> Gilt das eigentlich auch für Subtraktion, dass man den
> Ausdruck so stehen lassen muss?
>  
> Also zum Beispiel: [mm]ln(x^2-y)[/mm]

Ja auch das kann man nicht vereinfachen. Im Prinzip steht hier ja: [mm]\ln(x^2+(-y))[/mm] In so fern ist es auch eine Addition.

Gruß taura
Bezug
                                
Bezug
Logarithmengesetze: Fehler!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Fr 21.10.2005
Autor: Loddar

Hallo taura + esperanza!


Da hat sich aber ein böser Schnitzer eingeschlichen ;-) ...


> Du kannst stattdessen höchstens schreiben: [mm]\br{1}{2}\ln(x+1)=\wurzel{\ln(x+1)}[/mm]

*dieletztenhaarerauf*

[notok] [notok] [notok]


Was taura hier meint, ist:  [mm] $\bruch{1}{2}*\ln(x+1) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x+1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\wurzel{x+1} \ \right)$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Bezug
Logarithmengesetze: ups!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Fr 21.10.2005
Autor: taura

Peinlich, peinlich... [peinlich]
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