Logarithmieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse die folgenden Exponentialgleichungen durch Logarithmieren zur Basis 10:
a) [mm] 4^x=7^{x+2}
[/mm]
b) [mm] 3^{2x+1}=4^{x-1} [/mm] |
Ich weiß leider nicht, was hier mit "Logarithmieren zur Basis 10" gemeint ist.
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Hallo,
> Ich weiß leider nicht, was hier mit "Logarithmieren zur
> Basis 10" gemeint ist.
Sprich, du hättest gerne eine fertige Lösung? 
Logarithmieren bedeutet eben, auf beiden Seiten den Logarithmus zu bilden. Dieser hat bekanntlich eine Basis, und als Basis soll hier 10 verwendet werden (weil nämlich jeder wissenschaftliche Taschenrechner Logarithmen zur Basis 10 beherrst, die man übrigens auch dekadische Logarithmen nennt).
Eine kleine Vorbemerkung praktischer Natur: der 10er-Logarithmus wird gerne abgekürzt als lg, also
[mm] lg(x):=log_{10}{x}
[/mm]
Mit dieser Abkürzung sieht der erste Schritt bei der ersten Gleichung schlicht und ergreifend so aus:
[mm] lg(4^x)=lg(7^{x+2})
[/mm]
Und nun bist du an der Reihe, ein einschlägig bekanntes Logarithmengesetz anzuwenden, welches ihr unter Garantie durchgenommen habt.
Einen kleinen Haken hat diese Abkürzung 'lg' jedoch: man verwendet sie nur im deutschsprachigen Raum. Daher ist die entsprechende Taste auf deinem TR einfach mit 'log' benannt (weil die Hersteller sich an den amerikanischen Gepflogenheiten orientieren).
Gruß, Diophant
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Also ist die Bemerkung "zur Basis 10" überflüssig?
Aber ich komm nicht wirklich weiter:
[mm] 4^x=7^{x+2} [/mm] |log
<=> x*log(4) = x+2*log(7) |/log(7) ?
<=> x*0,172414374=x+2
Spätestens hier kommt "Mist" raus, weil ich zwei Schritte weiter x-x rechnen müsste.
Ich will keine fertige Lösung, ich muss es ja eh können, aber ich komm da einfach nicht weiter.
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Hallo,
> Also ist die Bemerkung "zur Basis 10" überflüssig?
Streng genommen, bei solchen Aufgaben: ja. Denn es würde mit jeder beliebigen (zulässigen) Basis funktionieren.
> Aber ich komm nicht wirklich weiter:
>
> [mm]4^x=7^{x+2}[/mm] |log
>
> <=> x*log(4) = x+2*log(7) |/log(7) ?
Bis dahin sind deine Ansätze zielführend, aber hier steckt schon der erste Kardinalfehler: die x+2 müssen in Klammern, du möchtest doch den Logarithmus damit multiplizieren. Hier die richtige Version:
[mm]x*lg(4)=(x+2)*lg(7)[/mm]
Was jetzt kommt, ist etwas unüberlegt:
> <=> x*0,172414374=x+2
Hier sollte man zunächst
[mm] x*\bruch{lg(4)}{lg(7)}=x+2
[/mm]
schreiben.
> Spätestens hier kommt "Mist" raus, weil ich zwei Schritte
> weiter x-x rechnen müsste.
Nein, da irrst du: jetzt muss x auf die linke Seite, und dann muss man aus der enstandenen Differenz x ausklammern. Hernach kann man den anderen Faktor durch Division auf die andere Seite bringen. Und das Ausrechnen mit dem TR würde ich erst ganz zum Schluss machen, um größere Rundungsfehler (oder solcher Monster-Dezimalbrüche) zu vermeiden.
Gruß, Diophant
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Danke, jetzt hab ichs:
[mm] 4^x [/mm] = [mm] 7^{x+2} [/mm] |log
<=> x*log(4)=(x+2)*log(7) |/log(7)
<=> [mm] x*\bruch{log(4)}{log(7)}=x+2 [/mm] |-1x
<=> [mm] x(\bruch{log(4)}{log(7)}-1)=2 |/(\bruch{log(4)}{log(7)}-1)
[/mm]
<=> x= -6,954
Das war aber eine schwere Geburt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
nachgerechnet hab isch nicht, aber die Vorgehensweise passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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