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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Do 06.01.2011 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Bilden Sie die Ableitung der Funktion
a) f(x)=[mm] 2^{X-2} [/mm]
b) f(x)=[mm] 0,5^{2X-1} [/mm]
c) f(x)=[mm] 2^{3X} [/mm] |
Wenn ich nach der allgemeinen Ableitungsreregel für Logarithmusfunktionen vorgehe kommen ich nicht zum gewünschten Ergebnis. Ich kann den Fehler nicht finden.
Allgemein gilt doch folgendes:
[mm] f(x)=a^x
[/mm]
f'(x)=lna[mm] * [/mm][mm] a^x
[/mm]
[m
a) f'(x)= ln2[mm] * [/mm] m] [mm] 0,2^{X-2} [/mm] [/mm]
Dies Ergebnis ist zwar richtg jedoch wird es noch wie folgt umgeformt:ln2[mm] * [/mm] [mm] 0,2^{X-2} [/mm]=[mm] \left( \bruch{ln2}{4} \right) [/mm][mm] * [/mm][mm] 2^X
[/mm]
Ich kann leider nicht nachvollziehen wie dies zustande kommt.Gibt es hier eine Regel?
b)hier habe ich für f'(x) folgendes:
f'(x)= ln0,5[mm] * [/mm][mm] 0.5^{2x-1} [/mm]
Die Lösung lautet jedoch :2ln(2x-1)[mm] * [/mm][mm] 0.5^{2x-1} [/mm] =2ln(2X-1)[mm] * [/mm][mm] 2^{1-2X} [/mm]
Das selbe Problem habe ich bei c)
f'(x)= ln2[mm] * [/mm][mm] 2^{3X} [/mm]
[mm] =ln2*8^x [/mm]
Ich bin für jeden Tip dankbar. Am besten wäre es, wenn mir jemand eine Regel dazu sagen kann, falls es sowas gibt.
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> Bilden Sie die Ableitung der Funktion
>
> a) f(x)=[mm] 2^{X-2}[/mm]
>
> b) f(x)=[mm] 0,5^{2X-1}[/mm]
>
> c) f(x)=[mm] 2^{3X}[/mm]
> Wenn ich nach der allgemeinen
> Ableitungsreregel für Logarithmusfunktionen vorgehe kommen
> ich nicht zum gewünschten Ergebnis. Ich kann den Fehler
> nicht finden.
>
> Allgemein gilt doch folgendes:
>
> [mm]f(x)=a^x[/mm]
> f'(x)=lna[mm] *[/mm][mm] a^x[/mm]
> [m
> a) f'(x)= ln2[mm] *[/mm] m] [mm]2^{X-2}[/mm][/mm]
> Dies Ergebnis ist zwar richtg jedoch wird es noch wie
> folgt umgeformt:ln2[mm] *[/mm] [mm]2^{X-2} [/mm]=[mm] \left( \bruch{ln2}{4} \right)[/mm][mm] *[/mm][mm] 2^X[/mm]
>
> Ich kann leider nicht nachvollziehen wie dies zustande
> kommt.Gibt es hier eine Regel?
hier wurde aus [mm] a^{b-c}=a^b*a^{-c}=a^b/a^c [/mm] gemacht
>
>
> b)hier habe ich für f'(x) folgendes:
> f'(x)= ln0,5[mm] * [/mm][mm] 0.5^{2x-1}[/mm]
mit ner 2* vorne hätte ich das gleiche raus
>
> Die Lösung lautet jedoch :2ln(2x-1)[mm] *[/mm][mm] 0.5^{2x-1}[/mm]
> =2ln(2X-1)[mm] * [/mm][mm] 2^{1-2X}[/mm]
>
>
> Das selbe Problem habe ich bei c)
>
> f'(x)= ln2[mm] * [/mm][mm] 2^{3X}[/mm]
> [mm]=ln2*8^x[/mm]
hier vorn fehlt auch ein faktor!
>
> Ich bin für jeden Tip dankbar. Am besten wäre es, wenn
> mir jemand eine Regel dazu sagen kann, falls es sowas gibt.
schreibe [mm] (a)^{bx} [/mm] mit hilfe der umkehrfunktion um zu [mm] (e^{ln(a)})^{bx}=e^{ln(a)*bx} [/mm] und nun nach kettenregel ableiten. erkennst du nun deine fehler?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 06.01.2011 | | Autor: | Palme |
> > Bilden Sie die Ableitung der Funktion
> >
> > a) f(x)=[mm] 2^{X-2}[/mm]
> >
> > b) f(x)=[mm] 0,5^{2X-1}[/mm]
> >
> > c) f(x)=[mm] 2^{3X}[/mm]
> > Wenn ich nach der allgemeinen
> > Ableitungsreregel für Logarithmusfunktionen vorgehe kommen
> > ich nicht zum gewünschten Ergebnis. Ich kann den Fehler
> > nicht finden.
> >
> > Allgemein gilt doch folgendes:
> >
> > [mm]f(x)=a^x[/mm]
> > f'(x)=lna[mm] *[/mm][mm] a^x[/mm]
> > [m
> > a) f'(x)= ln2[mm] *[/mm] m] [mm]2^{X-2}[/mm][/mm]
> > Dies Ergebnis ist zwar richtg jedoch wird es noch wie
> > folgt umgeformt:ln2[mm] *[/mm] [mm]2^{X-2} [/mm]=[mm] \left( \bruch{ln2}{4} \right)[/mm][mm] *[/mm][mm] 2^X[/mm]
>
> >
> > Ich kann leider nicht nachvollziehen wie dies zustande
> > kommt.Gibt es hier eine Regel?
> hier wurde aus [mm]a^{b-c}=a^b*a^{-c}=a^b/a^c[/mm] gemacht Dies habe ich verstanden.
> >
> >
> > b)hier habe ich für f'(x) folgendes:
> > f'(x)= ln0,5[mm] *[/mm][mm] 0.5^{2x-1}[/mm]
> mit ner 2* vorne hätte
> ich das gleiche raus
Ich verstehe hier leider nicht warum ich 2* mache. und selbst wenn komme ich nicht auf das gleiche ergebnis.Meine Fragensind nun, wenn ich hier also 2* mache wieso wird dann ln0,5 zu 2ln(2x-1)?
Also 2ln kann ich nachvollziehen, aber wie kommt das (2x-1) dahin ? wieso wiso passiert mit *[/mm][mm] 0.5^{2x-1}[/mm]nichts?
> >
> > Die Lösung lautet jedoch :2ln(2x-1)[mm] *[/mm][mm] 0.5^{2x-1}[/mm]
> > =2ln(2X-1)[mm] *[/mm][mm] 2^{1-2X}[/mm]
> >
> >
> > Das selbe Problem habe ich bei c)
> >
> > f'(x)= ln2[mm] *[/mm][mm] 2^{3X}[/mm]
> > [mm]=ln2*8^x[/mm]
> hier vorn fehlt auch ein faktor! wieso fehlt hier ein Faktor?
Ich habe diese Aufgabe nach der Ableitungsregel gerechnet und
> > f'(x)= ln2[mm] *[/mm][mm] 2^{3X}[/mm] herausbekommen.
Die Lösung lautet: [mm] (ln8)*8^x [/mm] =3*(ln2)*[mm] 2^{3X}[/mm]
wie kommt man hier auf (ln8)?
Hallo Tee die Ableitungsregel habe wie von dir vorgschlagen benuzt und dabei herausgefunden,dass deine die gleiche ist wie meine von oben.
Jedoch habe ich bei logarithmusfunktionen die Schwierigkeit die innere Funktion von der äußeren zu unterscheiden. kann mir das jemand bitte am folgendem Beispiel verdeutlichen?
f'(x)=ln2* [mm] e^{(ln2)*3} [/mm]
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Hi,
es gibt also die beiden allgemeinen Aussagen für solche Ableitungen:
1. $f(x) = [mm] a^{x} \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \ln{a} [/mm] * [mm] a^{x}$
[/mm]
2. $ f(x) = [mm] a^{g(x)} \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \ln{a} [/mm] * g'(x) * [mm] a^{g(x)}$
[/mm]
Darauf kommt man, wenn man [mm] $a^{x} [/mm] = [mm] e^{\ln{a}*x}$ [/mm] bzw. [mm] $a^{g(x)} [/mm] = [mm] e^{\ln{a}*g(x)}$ [/mm] schreibt und diese Funktion dann ableitet.
Also ist die "innere Funktion" all das, was im Exponenten steht.
Beispiel:
$f(x) = [mm] 0,5^{2x-1}$
[/mm]
Hier ist $a=0,5$ und die innere Funktion $g(x) = 2x-1$.
Also ist die Ableitung:
$f'(x) = [mm] \ln{0,5} [/mm] * 2 * [mm] 0,5^{2x - 1}$
[/mm]
Das lässt sich dann noch vereinfachen usw., aber hier ging es ja nur um die Ableitung.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Palme |
> Hi,
>
> es gibt also die beiden allgemeinen Aussagen für solche
> Ableitungen:
>
> 1. [mm]f(x) = a^{x} \Rightarrow f'(x) = \ln{a} * a^{x}[/mm]
>
> 2. [mm]f(x) = a^{g(x)} \Rightarrow f'(x) = \ln{a} * g'(x) * a^{g(x)}[/mm]
>
> Darauf kommt man, wenn man [mm]a^{x} = e^{\ln{a}*x}[/mm] bzw.
> [mm]a^{g(x)} = e^{\ln{a}*g(x)}[/mm] schreibt und diese Funktion dann
> ableitet.
>
> Also ist die "innere Funktion" all das, was im Exponenten
> steht.
>
> Beispiel:
>
> [mm]f(x) = 0,5^{2x-1}[/mm]
>
> Hier ist [mm]a=0,5[/mm] und die innere Funktion [mm]g(x) = 2x-1[/mm].
>
> Also ist die Ableitung:
>
> [mm]f'(x) = \ln{0,5} * 2 * 0,5^{2x - 1}[/mm]
>
> Das lässt sich dann noch vereinfachen usw., aber hier ging
> es ja nur um die Ableitung.
>
> lg weightgainer
Danke für deine Hilfe habe schon ein paar Übungen gerechnet, nur habe ich gerade bei dem obigen Beispiel Probleme die Ableitung zu vereinfachen .
Also ich habe für die Ableitung das gleiche Ergebnis herausbekommen.[mm]f'(x) = \ln{0,5} * 2 * 0,5^{2x - 1}[/mm]
und bin nun wie folgt weiter vorgegangen:
=2(ln0,5)*[mm]0,5^{2x-1} [/mm]
=(ln0,25)*[mm]0,5^{2x-1} [/mm]
Die Lösung lautet: 2ln(2x-1)*[mm]0,5^{2x-1} [/mm]
Wie komme ich auf diesen Part:2ln(2x-1) ?
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Hallo Palme,
> Danke für deine Hilfe habe schon ein paar Übungen
> gerechnet, nur habe ich gerade bei dem obigen Beispiel
> Probleme die Ableitung zu vereinfachen .
> Also ich habe für die Ableitung das gleiche Ergebnis
> herausbekommen.[mm]f'(x) = \ln{0,5} * 2 * 0,5^{2x - 1}[/mm]
> und bin
> nun wie folgt weiter vorgegangen:
>
> =2(ln0,5)*[mm]0,5^{2x-1}[/mm]
> =(ln0,25)*[mm]0,5^{2x-1}[/mm]
Ja, alles gut.
> Die Lösung lautet: 2ln(2x-1)*[mm]0,5^{2x-1}[/mm]
Nein, das tut sie nicht.
Oder die Aufgabe lautete anders.
> Wie komme ich auf diesen Part:2ln(2x-1) ?
Nicht durch Umformen. Das ist die Lösung zu einer anderen Aufgabe.
Grüße
reverend
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