Logarithmusreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Logarithmusreihe.
Und zwar zum Zusammenhang zwischen der Logarithmusreihe und der Logarithmusfunktion.
Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] für [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
Dann steht dort weiter:
Die Logarithmusreihe divergiert für $x>1$, obwohl die Logarithmusfunktion dort definiert ist. Für $x=1$ ist die Logarithmusreihe noch konvergent. Es ist aber keineswegs selbstverständlich, dass sie auch dort die Logarithmusfunktion darstellt. Das dies doch der Fall ist, besagt die faszinierende Formel [mm] ln(2)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1}{k} [/mm]
Diesen Abschnitt verstehe ich nicht.
Zuerst sagen wir, dass die Log-Reihe für x-Werte größer als 1 nicht mehr gegen einen bestimmten Wert strebt, die Log-Funktion für solche x-Werte aber definiert ist.
Heißt das, für $x>1$ stimmen Log-Reihe und Log-Funktion nicht überein?
Dann steht da, dass für $x=1$ die Log-Reihe konvergiert, dass es aber nicht verständlich ist, dass sie dort (also an der Stelle $x=1$) die Logfunktion darstellt, was sie aber tut.
Was genau heißt es, dass die Log-Reihe die Log-Funktion darstellt?
Heißt dass, dass der Wert der Log-Reihe und der Log-Funktion an der Stelle x gleich sind?
Und was hat die Formel für $ln(2)$ mit der Konvergenz der Log-Reihe im Punkt $x=1$ zu tun?
Wie kann die Log-Reihe überhaupt für $x=1$ konvergieren, wenn sie für $x=1$ gar nicht definiert ist?
Und was ist mit den x-Werten kleiner als 1?
Dann haben wir noch eine Formel.
Sie ist quasi identisch mit der Log-Reihe: [mm] ln(1+x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] für [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
Heißt das, die Logarithmusreihe ist gleich dem Logarithmus von $1+x$?
Ich blicke da irgendwie nicht durch, wie die Logarithmusreihe und die Logarithmusfunktion zusammenhängen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zur Logarithmusreihe.
> Und zwar zum Zusammenhang zwischen der Logarithmusreihe
> und der Logarithmusfunktion.
>
> Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]
Vorsichtig!
Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern für ln(1+x).
Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern zwischen 0 und 2 berechnen.
Wie sieht es mit den Grenzen aus?
Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert. Für x=1 kann man - wie im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2 erhalten.
Für x>1 divergiert die Reihe (probviere es doch einfach mal mit Excel o.ä. aus.)
Gruß Abakus
>
> Dann steht dort weiter:
>
> Die Logarithmusreihe divergiert für [mm]x>1[/mm], obwohl die
> Logarithmusfunktion dort definiert ist. Für [mm]x=1[/mm] ist die
> Logarithmusreihe noch konvergent. Es ist aber keineswegs
> selbstverständlich, dass sie auch dort die
> Logarithmusfunktion darstellt. Das dies doch der Fall ist,
> besagt die faszinierende Formel
> [mm]ln(2)=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> Diesen Abschnitt verstehe ich nicht.
> Zuerst sagen wir, dass die Log-Reihe für x-Werte größer
> als 1 nicht mehr gegen einen bestimmten Wert strebt, die
> Log-Funktion für solche x-Werte aber definiert ist.
> Heißt das, für [mm]x>1[/mm] stimmen Log-Reihe und Log-Funktion
> nicht überein?
> Dann steht da, dass für [mm]x=1[/mm] die Log-Reihe konvergiert,
> dass es aber nicht verständlich ist, dass sie dort (also
> an der Stelle [mm]x=1[/mm]) die Logfunktion darstellt, was sie aber
> tut.
> Was genau heißt es, dass die Log-Reihe die Log-Funktion
> darstellt?
> Heißt dass, dass der Wert der Log-Reihe und der
> Log-Funktion an der Stelle x gleich sind?
> Und was hat die Formel für [mm]ln(2)[/mm] mit der Konvergenz der
> Log-Reihe im Punkt [mm]x=1[/mm] zu tun?
> Wie kann die Log-Reihe überhaupt für [mm]x=1[/mm] konvergieren,
> wenn sie für [mm]x=1[/mm] gar nicht definiert ist?
> Und was ist mit den x-Werten kleiner als 1?
>
> Dann haben wir noch eine Formel.
> Sie ist quasi identisch mit der Log-Reihe:
> [mm]ln(1+x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> Heißt das, die Logarithmusreihe ist gleich dem
> Logarithmus von [mm]1+x[/mm]?
>
> Ich blicke da irgendwie nicht durch, wie die
> Logarithmusreihe und die Logarithmusfunktion
> zusammenhängen.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> > [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> > [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> Vorsichtig!
> Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern
> für ln(1+x).
Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus von x+1?
> Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann
> man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern
> zwischen 0 und 2 berechnen.
Warum grob gesagt?
Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen Logarithmus, oder?
[Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß" betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]
> Wie sieht es mit den Grenzen aus?
> Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den
> ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert.
Aber mit $ [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $ kann ich doch einen Wert für x=-1 berechnen, oder nicht?
D.h. nicht so wirklich, oder, das Ergebnis wird immer immer kleiner:
[mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{(-1)^n}{n}=-1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-...
[/mm]
> Für x=1 kann man - wie
> im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2
> erhalten.
Aber warum kann ich ln(2) berechnen, wenn L(x) nicht definiert ist für 1?
Die Log-Reihe divergiert bei mir auch:
[mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1 [/mm] oder 1
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
>
> > > Im Buch ist die Logarithmusreihe definiert als
> > > [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] für
> > > [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>
> > Vorsichtig!
> > Das ist nicht die Reihenentwicklung für ln x, sondern
> > für ln(1+x).
>
> Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die
> Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus
> von x+1?
>
>
>
> > Da x von -1 bis 1 gehen darf (Konvergenzradius 1), kann
> > man damit -grob gesagt- die natürlichen Logarithmern
> > zwischen 0 und 2 berechnen.
>
> Warum grob gesagt?
>
> Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
> Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen
> Logarithmus, oder?
>
> [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
> wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich
> betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß"
> betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]
>
>
>
> > Wie sieht es mit den Grenzen aus?
> > Für x=-1 kann man den Logarithmus NICHT berechnen, den
> > ln(1-1)=ln 0 ist nicht definiert.
>
> Aber mit
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}[/mm] kann
> ich doch einen Wert für x=-1 berechnen, oder nicht?
>
> D.h. nicht so wirklich, oder, das Ergebnis wird immer immer
> kleiner:
>
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{(-1)^n}{n}=-1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-...[/mm]
>
>
>
> > Für x=1 kann man - wie
> > im Artikel steht - gerade noch den Wert für ln(1+1)=ln 2
> > erhalten.
>
> Aber warum kann ich ln(2) berechnen, wenn L(x) nicht
> definiert ist für 1?
>
> Die Log-Reihe divergiert bei mir auch:
>
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1[/mm]
> oder 1
Hallo, du hast das "geteilt durch n" vergessen.
Gruß Abakus
>
>
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> [mm]L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1^n}{n}=1+(-1)+1+(-1)+-...=-1[/mm]
> > oder 1
> Hallo, du hast das "geteilt durch n" vergessen.
Ok.
Dann hab ich [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+-...
[/mm]
Aber wenn die Log-Reihe für x=1 konvergiert, warum ist sie dann für x=1 nicht definiert?
Das verstehe ich nicht.
Kannst du mir auch meine anderen Fragen beantworten?
1)
> Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die
> Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen Logarithmus
> von x+1?
2)
> Warum grob gesagt?
>
> Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
> Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen
> Logarithmus, oder?
>
> [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
> wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich
> betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz groß"
> betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]
LG Nadine
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> Aber wenn die Log-Reihe für x=1 konvergiert, warum ist sie
> dann für x=1 nicht definiert?
>
> Das verstehe ich nicht.
Hallo,
ich weiß nun nicht genau, was in Deinem Buch so alles getan wurde, könnte mir aber vorstellen, daß es dieses ist:
man hat die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $ , und nun möchte man erstmal wissen, für welche x sie konvergiert.
Dazu berechnet man den Konvergenzradius R und stellt fest: R=1.
Weil man gut aufgepaßt hat, weiß man hiermit, daß für |x|<1 die Reihe konvergiert und für |x|>1 divergiert.
Weil sie für |x|=1 konvergiert, ist es überhaupt erst sinnvoll, eine Funktion L: [mm] (-1,1)\to \IR [/mm] zu definieren mit $ [mm] L(x):=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n} [/mm] $
Nun kann man der Sache noch etwas genauer auf den Grund gehen und schauen, was an den Intervallgrenzen passiert.
Dies wurde getan mit dem Ergebnis: Divergenz für x=-1, Konvergenz für x=1.
Wenn man Lust hat, kann man also eine Funktion [mm] \overline{L}:(-1,1]\to \IR [/mm] definieren mit [mm] \overline{L}(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{x^n}{n}.
[/mm]
>
>
>
> Kannst du mir auch meine anderen Fragen beantworten?
>
> 1)
> > Also heißt das, für x zwischen -1 und 1 ist die
> > Logarithmusreihe von x gleich dem natürlichen
> Logarithmus
> > von x+1?
Ja.
Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige Möglichkeiten.
Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt: ln(x+1):=L(x),
es kann aber auch sein, daß der ln bereits vorher da war und festgestellt wurde: juchhee, zwischen -1 und 1 ist L(x) ja gerade ln(x+1).
>
> 2)
> > Warum grob gesagt?
Die Angabe "zwischen -1 und 1" ist halt nicht ganz präzise, und doch war sie im Zusammenhang brauchbar.
> >
> > Wenn n ganz ganz ganz groß wird, dann ist doch der
> > Grenzwert der Log-Reihe genau der Wert des natürlichen
> > Logarithmus, oder?
Ja, natürlich betrachten wir hier die unendliche Reihe.
> >
> > [Eine Frage: Wenn man bei Reihen sagt, dass n ganz groß
> > wird, also wenn man den Limes für n gegen Unendlich
> > betrachtet, wird dann nur der Summand für n="ganz
> groß"
> > betrachtet oder alle Summanden bis n="ganz groß"?]
???
Endliche Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k=a_0+a_1+...+a_n,
[/mm]
unendliche Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n\infty}a_k=a_0+a_1+a_2+....
[/mm]
Vielleicht verwirrt Dich auch dies: [mm] \summe_{k=0}^{n\infty}a_k [/mm] steht nämlich für zweierlei.
1. Für die Folge der Partialsummen
2. Für den Grenzwert derselbigen
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Es ist ja nun doch schon eine ganze Weile her, aber ich hab doch noch eine Frage hierzu.
> Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert
> habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige
> Möglichkeiten.
> Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt:
> ln(x+1):=L(x)
Ja, so haben wir das auch gemacht.
Aber damit hat man ja im Grunde nur die Logarithmen $ln(x+1)$ für x zwischen $(-1,1]$ definiert, also bis $ln(2)$.
Mehr wurde bei uns auch nicht gemacht.
Wie aber werden nun die restlichen Logarithmen für $x>1$ definiert, also $ln(3)$ usw.?
Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also für $x<-1$ der Logarithmus gar nicht definiert ist?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 28.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela!
>
> Es ist ja nun doch schon eine ganze Weile her, aber ich hab
> doch noch eine Frage hierzu.
>
> > Mir ist bisher nicht ganz klar, wie Ihr den ln definiert
> > habt, hierfür gibt es mehrer gleichwertige
> > Möglichkeiten.
> > Die eine Möglichkeit ist die, daß man sagt:
> > ln(x+1):=L(x)
>
> Ja, so haben wir das auch gemacht.
>
> Aber damit hat man ja im Grunde nur die Logarithmen [mm]ln(x+1)[/mm]
> für x zwischen [mm](-1,1][/mm] definiert, also bis [mm]ln(2)[/mm].
>
> Mehr wurde bei uns auch nicht gemacht.
>
> Wie aber werden nun die restlichen Logarithmen für [mm]x>1[/mm]
> definiert, also [mm]ln(3)[/mm] usw.?
Hallo,
entweder wählst du für die Taylorreihe einen anderen Entwicklungspunkt, damit du mit dessen Konvergenzradius wieder ein Stück des Def-Bereichs von ln(x) abdeckst,
oder du nutzt die Logarithmengesetze.
Da z.B. gilt [mm] ln(3)=-ln\bruch{1}{3}, [/mm] kannst du den ln von 1/3 ausrechnen und das Vorzeichen wechseln.
Den ln von 1/3 erhältst du als ln [mm] (1+(-\bruch{2}{3})) [/mm] durch die bekannte Reihenentwicklung von ln(1+x).
>
> Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?
Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.
Gruß Abakus
>
> LG Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> > für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?
> Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus
> Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.
Ja, das weiß ich 
Aber es muss doch auch irgendwo in der Definition ersichtlich sein, dass negative Argumente nicht erlaubt sind, oder?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Sa 28.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> > > Und wo wrid definiert, dass für negative Argumente, also
> > > für [mm]x<-1[/mm] der Logarithmus gar nicht definiert ist?
>
> > Der Definitionsbereich von ln(x) ist Grundwissen aus
> > Klasse 10; ln(x+1) ist lediglich um 1 verschoben.
>
> Ja, das weiß ich
>
> Aber es muss doch auch irgendwo in der Definition
In welcher?
Es gibt sicher viele verschiedene Möglichkeiten, die natürliche Logarithmusfunktion zu definieren.
Wenn wir mal die gängigste (Umkehrfunktion von f(x)=Exp(x) ) hernehmen, dürfte klar sein, warum es für negative Zahlen keinen ln gibt.
Gruß Abakus
> ersichtlich sein, dass negative Argumente nicht erlaubt
> sind, oder?
>
> LG Nadine
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